Lire un nuage de points et choisir un ajustement - Exercice 3

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Une étude modélise la part des fumeurs quotidiens chez les 1818-7575 ans, en pourcentage, par l'ajustement affine y=−0,9x+30,5y=-0{,}9x+30{,}5, où xx est le rang de l'année (x=1x=1 pour 20142014).
Question 1

Que représente le coefficient −0,9-0{,}9 dans ce contexte ?

Correction
Dans l'équation y=ax+by=ax+b d'une droite d'ajustement où xx est un rang, aa est la variation moyenne de yy quand le rang augmente de 11 (une hausse si a>0a\gt 0, une baisse si a<0a\lt 0) et bb est la valeur estimée pour le rang 00.
Le coefficient directeur est négatif : selon ce modèle, la part des fumeurs quotidiens baisse en moyenne de 0,90{,}9 point de pourcentage chaque année.
Question 2

Que représente le nombre 30,530{,}5 ?

Correction
C'est la valeur de yy pour x=0x=0, c'est-à-dire l'estimation donnée par le modèle pour l'année 20132013 : 30,530{,}5 % de fumeurs quotidiens.
Question 3

Estimer la part des fumeurs quotidiens en 20242024.

Correction
L'année 20242024 correspond au rang x=11x=11.
y=−0,9×11+30,5=20,6y=-0{,}9\times 11+30{,}5=20{,}6
y=20,6y=20{,}6

Selon ce modèle, environ 20,620{,}6 % des 1818-7575 ans fumeraient chaque jour en 20242024.
Question 4

À partir de quelle année cette part devient-elle inférieure à 2020 % ?

Correction
On résout l'inéquation −0,9x+30,5<20-0{,}9x+30{,}5\lt 20.
−0,9x+30,5<20-0{,}9x+30{,}5\lt 20 équivaut successivement à :
−0,9x<20−30,5-0{,}9x\lt 20-30{,}5
−0,9x<−10,5-0{,}9x\lt -10{,}5
x>−10,5−0,9x\gt \dfrac{-10{,}5}{-0{,}9} (on divise par un nombre négatif : le sens de l'inégalité change)
Or −10,5−0,9≈11,67\dfrac{-10{,}5}{-0{,}9}\approx 11{,}67 : le premier rang entier qui convient est x=12x=12, qui correspond à l'année 20252025.
Selon ce modèle, la part des fumeurs quotidiens devient inférieure à 2020 % à partir de 20252025.

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