Lire un nuage de points et choisir un ajustement - Exercice 2

15 min
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Une pharmacie a relevé le nombre de vaccinations contre la grippe pendant les six premières semaines de la campagne.
Question 1

Calculer les coordonnées du point moyen GG du nuage de points.

Correction
Le point moyen G(x‾;y‾)G\left(\overline{x};\overline{y}\right) d'un nuage de points a pour abscisse la moyenne des xix_{i} et pour ordonnée la moyenne des yiy_{i}.
x‾=1+2+3+4+5+66=216\overline{x}=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=\dfrac{21}{6}
x‾=3,5\overline{x}=3{,}5

y‾=12+14+17+18+21+236=1056\overline{y}=\dfrac{12+14+17+18+21+23}{6}=\dfrac{105}{6}
y‾=17,5\overline{y}=17{,}5

Les coordonnées du point moyen sont : G(3,5;17,5)G\left(3{,}5;17{,}5\right).
Question 2
Lisa trace à la règle une droite (D)\left(D\right) qui lui semble proche des points : elle passe par A(1;12)A\left(1;12\right) et B(6;24)B\left(6;24\right).

Déterminer une équation de la droite (D)\left(D\right).

Correction
Une droite qui passe par A(xA;yA)A\left(x_A;y_A\right) et B(xB;yB)B\left(x_B;y_B\right), avec xA≠xBx_A\neq x_B, a pour coefficient directeur m=yB−yAxB−xAm=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}. Son ordonnée à l'origine pp vérifie yA=m×xA+py_A=m\times x_A+p.
Le coefficient directeur de (D)\left(D\right) est : m=24−126−1=125=2,4m=\dfrac{24-12}{6-1}=\dfrac{12}{5}=2{,}4
Son ordonnée à l'origine pp vérifie 12=2,4×1+p12=2{,}4\times 1+p, donc p=12−2,4=9,6p=12-2{,}4=9{,}6.
y=2,4x+9,6y=2{,}4x+9{,}6

Question 3

La droite (D)\left(D\right) passe-t-elle par le point moyen GG ?

Correction
Pour x=3,5x=3{,}5 : 2,4×3,5+9,6=8,4+9,6=182{,}4\times 3{,}5+9{,}6=8{,}4+9{,}6=18.
Or y‾=17,5\overline{y}=17{,}5 et 18≠17,518\neq 17{,}5 : la droite (D)\left(D\right) ne passe pas par GG.
Ce n'est donc pas la droite des moindres carrés, qui passe toujours par le point moyen.
Question 4

À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite (d)\left(d\right) d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés (valeurs exactes des coefficients). Vérifier qu'elle passe par GG.

Correction
La droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés s'obtient à la calculatrice (régression linéaire). Elle passe toujours par le point moyen GG.
Une équation de la droite (d)\left(d\right) obtenue à l'aide de la calculatrice est :
y=2,2x+9,8y=2{,}2x+9{,}8

Pour x=3,5x=3{,}5 : 2,2×3,5+9,8=7,7+9,8=17,52{,}2\times 3{,}5+9{,}8=7{,}7+9{,}8=17{,}5. La droite (d)\left(d\right) passe bien par G(3,5;17,5)G\left(3{,}5;17{,}5\right).
Question 5

Estimer, avec chacune des deux droites, le nombre de vaccinations pendant la semaine 88. Quelle est la différence ?

Correction
Avec (d)\left(d\right) : y=2,2×8+9,8=27,4y=2{,}2\times 8+9{,}8=27{,}4, soit environ 2 7402\,740 vaccinations.
Avec (D)\left(D\right) : y=2,4×8+9,6=28,8y=2{,}4\times 8+9{,}6=28{,}8, soit environ 2 8802\,880 vaccinations.
2 880−2 740=1402\,880-2\,740=140

La droite tracée à la règle donne 140140 vaccinations de plus que la droite des moindres carrés.

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