Devoir type n° 2 - Exercice 2

20 min
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Exercice noté sur 77 points.
Le tableau donne le nombre d'abonnés, en milliers, à un service de téléconsultation médicale. On note xx le rang de l'année (x=0x=0 pour 20192019).
Question 1
Partie A : ajustement affine

Déterminer une équation de la droite (d)\left(d\right) d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 0,010{,}01 près).

Correction
La droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés s'obtient à la calculatrice (régression linéaire). Elle passe toujours par le point moyen GG.
À la calculatrice :
y=5x+10,33y=5x+10{,}33

(coefficients arrondis à 0,010{,}01 près : a=5a=5 et b≈10,33b\approx 10{,}33)
Question 2

Estimer avec ce modèle le nombre d'abonnés en 20252025.

Correction
L'année 20252025 correspond au rang x=6x=6.
y=5×6+10,33=40,33y=5\times 6+10{,}33=40{,}33
y=40,33y=40{,}33

Selon ce modèle, il y aurait environ 40 33040\,330 abonnés en 20252025.
Question 3
Partie B : modèle géométrique

On modélise aussi le nombre d'abonnés par la suite (un)\left(u_n\right) définie par un=12×1,25nu_n=12\times 1{,}25^{n}, où nn est le rang de l'année. Calculer u6u_6 (arrondi à 0,010{,}01 près). Que signifie le nombre 1,251{,}25 ?

Correction
u6=12×1,256≈45,78u_6=12\times 1{,}25^{6}\approx 45{,}78
u6≈45,78u_6\approx 45{,}78

Chaque année, le nombre d'abonnés est multiplié par 1,251{,}25 : il augmente de 2525 % par an.
Question 4

En 20252025, on a observé 4646 milliers d'abonnés. Quel modèle semble le plus adapté ?

Correction
Modèle affine : 40,3340{,}33 milliers ; modèle géométrique : 45,7845{,}78 milliers.
L'écart avec la valeur observée est de 46−40,33=5,6746-40{,}33=5{,}67 pour le modèle affine et de 46−45,78=0,2246-45{,}78=0{,}22 pour le modèle géométrique.
Le modèle géométrique est donc le plus adapté. Sur la figure, le point M(6;46)M\left(6;46\right) représente la valeur observée.
Question 5

Selon le modèle géométrique, à partir de quelle année le nombre d'abonnés dépassera-t-il 100100 milliers ?

Correction
On cherche le plus petit entier nn tel que 12×1,25n>10012\times 1{,}25^{n}\gt 100, c'est-à-dire 1,25n>100121{,}25^{n}\gt \dfrac{100}{12}.
Comme la fonction log⁡\log est croissante, cela équivaut à n×log⁡(1,25)>log⁡(10012)n\times\log\left(1{,}25\right)\gt \log\left(\dfrac{100}{12}\right), soit n>log⁡(10012)log⁡(1,25)≈9,50n\gt \dfrac{\log\left(\dfrac{100}{12}\right)}{\log\left(1{,}25\right)}\approx 9{,}50.
Le premier entier qui convient est n=10n=10, qui correspond à l'année 20292029.
Vérification : u9=12×1,259≈89,41u_9=12\times 1{,}25^{9}\approx 89{,}41 et u10=12×1,2510≈111,76u_{10}=12\times 1{,}25^{10}\approx 111{,}76.

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