Devoir type n° 1 - Exercice 3

20 min
40
Exercice noté sur 77 points.
Une enquête mesure tous les trois ans la part des jeunes de 1717 ans qui fument chaque jour.
Question 1

Calculer les coordonnées du point moyen GG.

Correction
Le point moyen G(x‾;y‾)G\left(\overline{x};\overline{y}\right) d'un nuage de points a pour abscisse la moyenne des xix_{i} et pour ordonnée la moyenne des yiy_{i}.
x‾=1+2+3+4+55=155\overline{x}=\dfrac{1+2+3+4+5}{5}=\dfrac{15}{5}
x‾=3\overline{x}=3

y‾=30,2+27,8+25,9+23,1+20,95=127,95\overline{y}=\dfrac{30{,}2+27{,}8+25{,}9+23{,}1+20{,}9}{5}=\dfrac{127{,}9}{5}
y‾=25,58\overline{y}=25{,}58

Les coordonnées du point moyen sont : G(3;25,58)G\left(3;25{,}58\right).
Question 2

Déterminer une équation de la droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 0,010{,}01 près). Interpréter le coefficient directeur.

Correction
La droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés s'obtient à la calculatrice (régression linéaire). Elle passe toujours par le point moyen GG.
À la calculatrice :
y=−2,33x+32,57y=-2{,}33x+32{,}57

Le coefficient directeur est négatif : selon ce modèle, la part des fumeurs quotidiens à 1717 ans baisse en moyenne de 2,332{,}33 points à chaque enquête, c'est-à-dire tous les trois ans.
Question 3

Quel rang correspond à l'année 20262026 ? Estimer la part des fumeurs quotidiens à 1717 ans en 20262026.

Correction
Les années vont de 33 en 33 : de 20082008 à 20262026, il y a 1818 ans, soit 66 intervalles de 33 ans. L'année 20262026 correspond donc au rang 1+6=71+6=7.
y=−2,33×7+32,57=16,26y=-2{,}33\times 7+32{,}57=16{,}26
y=16,26y=16{,}26

Selon ce modèle, environ 16,2616{,}26 % des jeunes de 1717 ans fumeraient chaque jour en 20262026.
Question 4

Selon ce modèle, à partir de quelle année d'enquête cette part deviendra-t-elle inférieure à 1010 % ?

Correction
On résout −2,33x+32,57<10-2{,}33x+32{,}57\lt 10.
−2,33x+32,57<10-2{,}33x+32{,}57\lt 10 équivaut successivement à :
−2,33x<10−32,57-2{,}33x\lt 10-32{,}57
−2,33x<−22,57-2{,}33x\lt -22{,}57
x>−22,57−2,33x\gt \dfrac{-22{,}57}{-2{,}33} (on divise par un nombre négatif : le sens de l'inégalité change)
Or −22,57−2,33≈9,69\dfrac{-22{,}57}{-2{,}33}\approx 9{,}69 : le premier rang entier qui convient est x=10x=10.
Le rang 1010 correspond à l'année 2008+3×9=20352008+3\times 9=2035.
Selon ce modèle, la part des fumeurs quotidiens à 1717 ans deviendra inférieure à 1010 % à partir de 20352035.

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.