Devoir type n° 1 - Exercice 2

20 min
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Exercice noté sur 77 points.
Le tableau donne le nombre de personnes de 7575 ans ou plus, en centaines, vivant dans une commune de 20152015 à 20212021.
Question 1

Calculer le taux d'évolution global de cette population entre 20152015 et 20212021 (arrondi à 0,010{,}01 % près).

Correction
Le taux d'évolution d'une grandeur qui passe de V0V_{0} à V1V_{1} est t=V1−V0V0t=\dfrac{V_{1}-V_{0}}{V_{0}}. En pourcentage, on multiplie par 100100.
  • La valeur initiale V0V_{0} vaut ici 3131.
  • La valeur finale V1V_{1} vaut ici 3939.
t=39−3131×100t=\dfrac{39-31}{31}\times 100
t≈25,81%t\approx 25{,}81\%

Cette population a augmenté d'environ 25,8125{,}81 % entre 20152015 et 20212021.
Question 2

En déduire le taux d'évolution annuel moyen entre 20152015 et 20212021 (arrondi à 0,010{,}01 % près).

Correction
Si une grandeur passe de V0V_{0} à VnV_{n} en nn évolutions, le taux d'évolution moyen est tm=(VnV0)1n−1t_{m}=\left(\dfrac{V_{n}}{V_{0}}\right)^{\frac{1}{n}}-1.
De 20152015 à 20212021, il y a 66 évolutions.
tm=(3931)16−1≈0,0390t_{m}=\left(\dfrac{39}{31}\right)^{\frac{1}{6}}-1\approx 0{,}0390
tm≈3,90%t_{m}\approx 3{,}90\%

Question 3

Déterminer une équation de la droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 0,010{,}01 près).

Correction
La droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés s'obtient à la calculatrice (régression linéaire). Elle passe toujours par le point moyen GG.
À la calculatrice :
y=1,33x+29,67y=1{,}33x+29{,}67

(coefficients arrondis à 0,010{,}01 près)
Question 4

Estimer le nombre de personnes de 7575 ans ou plus en 20302030.

Correction
L'année 20302030 correspond au rang x=16x=16.
y=1,33×16+29,67=50,95y=1{,}33\times 16+29{,}67=50{,}95
y=50,95y=50{,}95

Selon ce modèle, environ 5 0955\,095 personnes de 7575 ans ou plus vivraient dans la commune en 20302030.
Question 5

À partir de quelle année cette population dépassera-t-elle 5 0005\,000 personnes ?

Correction
5 0005\,000 personnes correspondent à y=50y=50. On résout 1,33x+29,67>501{,}33x+29{,}67\gt 50.
1,33x+29,67>501{,}33x+29{,}67\gt 50 équivaut successivement à :
1,33x>50−29,671{,}33x\gt 50-29{,}67
1,33x>20,331{,}33x\gt 20{,}33
x>20,331,33x\gt \dfrac{20{,}33}{1{,}33}
Or 20,331,33≈15,29\dfrac{20{,}33}{1{,}33}\approx 15{,}29 : le premier rang entier qui convient est x=16x=16, qui correspond à l'année 20302030.
Selon ce modèle, cette population dépassera 5 0005\,000 personnes à partir de 20302030.

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