Ajustement après un changement de variable - Exercice 2

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Pendant une épidémie, on relève chaque semaine le nombre de nouveaux cas.
Question 1

Le nuage de points (xi;yi)\left(x_i;y_i\right) est représenté ci-dessous.
Un ajustement affine de yy en xx est-il adapté ?

Correction
Un ajustement affine est adapté lorsque les points du nuage sont presque alignés.
Non : les points ne sont pas alignés, ils forment une courbe qui monte de plus en plus vite.
Le nombre de cas est multiplié à peu près par le même nombre chaque semaine (190120≈1,58\dfrac{190}{120}\approx 1{,}58 ; 300190≈1,58\dfrac{300}{190}\approx 1{,}58) : on pose donc z=log⁡(y)z=\log\left(y\right).
Question 2

Compléter la ligne des zi=log⁡(yi)z_i=\log\left(y_i\right), arrondis à 0,0010{,}001 près.

Correction
log⁡(120)≈2,079\log\left(120\right)\approx 2{,}079 ; log⁡(190)≈2,279\log\left(190\right)\approx 2{,}279 ; log⁡(300)≈2,477\log\left(300\right)\approx 2{,}477 ; log⁡(470)≈2,672\log\left(470\right)\approx 2{,}672 ; log⁡(750)≈2,875\log\left(750\right)\approx 2{,}875 ; log⁡(1 180)≈3,072\log\left(1\,180\right)\approx 3{,}072.
Question 3

Déterminer une équation de la droite (d)\left(d\right) d'ajustement de zz en xx par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 0,010{,}01 près).

Correction
À la calculatrice, avec les xix_i et les ziz_i :
z=0,2x+1,88z=0{,}2x+1{,}88

(coefficients arrondis à 0,010{,}01 près : a≈0,20a\approx 0{,}20 et b≈1,88b\approx 1{,}88)
Question 4

En déduire une expression de yy en fonction de xx, puis montrer que le nombre de cas est multiplié environ par 1,5851{,}585 chaque semaine.

Correction
La fonction logarithme décimal est croissante et, pour tout nombre y>0y\gt 0, z=log⁡(y)z=\log\left(y\right) équivaut à y=10zy=10^{z}.
y=10z=100,2x+1,88=101,88×(100,2)xy=10^{z}=10^{0{,}2x+1{,}88}=10^{1{,}88}\times\left(10^{0{,}2}\right)^{x}
Or 101,88≈75,8610^{1{,}88}\approx 75{,}86 et 100,2≈1,58510^{0{,}2}\approx 1{,}585 :
y≈75,86×1,585xy\approx 75{,}86\times 1{,}585^{x}

Quand xx augmente de 11, yy est multiplié par 1,5851{,}585 : le nombre de cas augmente d'environ 58,558{,}5 % chaque semaine.
Question 5

Estimer le nombre de nouveaux cas pendant la semaine 88.

Correction
y=100,2×8+1,88=103,48≈3 020y=10^{0{,}2\times 8+1{,}88}=10^{3{,}48}\approx 3\,020
y≈3 020y\approx 3\,020

Selon ce modèle, on peut estimer à environ 3 0203\,020 le nombre de nouveaux cas pendant la semaine 88.

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