À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés - Exercice 3

18 min

On considère la série statistique à deux variables données par le tableau suivant :

Question 1

Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnées $\left(x_i;y_i\right)$ associées à cette série statistique.

Correction

On place successivement les points de coordonnées

\left(1;4\right)

\left(2;17\right)

\left(3;24\right)

\left(4;36\right)

\left(5;43\right)

Question 2

Un ajustement affine semble t-il adapté?

Correction

Les points du nuages sont proches de l'alignement, on peut donc envisager un ajustement affine.

Question 3

Calculer les coordonnées du point moyen $G$ . Placer ensuite, sur le graphique précédent, le point $G$ .

Correction

Le point moyen

G\left(\overline{x};\overline{y}\right)

d'un nuage de points est le point dont l'abscisse est la moyenne des abscisses

x_{i}

, et l'ordonnée la moyenne des ordonnées

y_{i}

.
Ses coordonnées

\left(\overline{x};\overline{y}\right)

vérifient donc :

\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}

\overline{y}=\frac{y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n}}{n}

Les coordonnées du point moyen

G

de cette série statistique sont :

\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}

\overline{x}=3

\overline{y}=\frac{4+17+24+36+43}{5}

\overline{y}=24,8

Les coordonnées du point moyen

G

sont :

G\left(3;24,8\right)

Nous allons donc maintenant placer le point moyen

G

dans le repère :

Question 4

À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $\left(d\right)$ d'ajustement de $y$ en $x$ , obtenue par la méthode des moindres carrés.

Correction

Une équation de la droite

\left(d\right)

d'ajustement de

y

x

par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est

y=9,7x-4,3

Question 5

Tracer la droite $\left(d\right)$ dans le même repère que le nuage de points.

Correction

La droite d'ajustement de

y

x

par la méthode des moindres carrés passe par le point moyen du nuage de points de la série statistique.

La droite

\left(d\right)

doit

\red{\text{ passer par le point moyen G}}

. Il nous faut donc un deuxième point que nous choisissons de manière arbitraire.
Par exemple pour

x=2

, nous avons

y=9,7\times 2-4,3=15,1

. Notons

A\left(2;15,1\right)

ce deuxième point.
La droite

\left(d\right)

passe par

G\left(3;24,8\right)

et par le point

A\left(2;15,1\right)

.
Nous traçons maintenant la droite

\left(d\right)

dans le repère.

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À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de yyy en xxx par la méthode des moindres carrés - Exercice 3

Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnées (xi;yi)\left(x_i;y_i\right)(xi​;yi​) associées à cette série statistique.

Un ajustement affine semble t-il adapté?

Calculer les coordonnées du point moyen GGG. Placer ensuite, sur le graphique précédent, le point GGG.

À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite (d)\left(d\right)(d) d'ajustement de yyy en xxx, obtenue par la méthode des moindres carrés.

Tracer la droite (d)\left(d\right)(d) dans le même repère que le nuage de points.

À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés - Exercice 3

Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnées $\left(x_i;y_i\right)$ associées à cette série statistique.

Calculer les coordonnées du point moyen $G$ . Placer ensuite, sur le graphique précédent, le point $G$ .

À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $\left(d\right)$ d'ajustement de $y$ en $x$ , obtenue par la méthode des moindres carrés.

Tracer la droite $\left(d\right)$ dans le même repère que le nuage de points.