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Résoudre une inéquation de la forme xa≥bx^{a} \ge b ou de la forme xa≤bx^{a} \le b - Exercice 1

12 min
30
Résoudre dans ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ les inéquations suivantes :
Question 1

x3,35<62x^{3,35} <62

Correction
x3,35<62x^{3,35} <62
  • A=B⇔log⁡(A)=log⁡(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
    • log⁡(x3,35)<log⁡(62)\log \left(x^{3,35} \right)<\log \left(62\right)
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log⁡(xn)=nlog⁡(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
    • 3,35log⁡(x)<log⁡(62)3,35\log \left(x\right)<\log \left(62\right)
    log⁡(x)<log⁡(62)3,35\log \left(\red{x}\right)<\blue{\frac{\log \left(62\right)}{3,35} }
      Soient xx un réel strictement positif et AA un réel. On a alors :
  • log⁡(x)<A⇔x<10A\log \left(\red{x}\right)<\blue{A}\Leftrightarrow \red{x}<10^{\blue{A}}
    • x<10log⁡(62)3,35\red{x}<10^{\blue{\frac{\log \left(62\right)}{3,35} }}
    Comme x>0x>0, l'ensemble des solutions est l'intervalle ]0;10log⁡(62)3,35[\left]0;10^{\frac{\log \left(62\right)}{3,35} }\right[
    Question 2

    x4,12<1x^{4,12} <1 256256

    Correction
    x4,12<1x^{4,12} <1 256256
  • A=B⇔log⁡(A)=log⁡(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
    • log⁡(x4,12)<log⁡(1  256)\log \left(x^{4,12} \right)<\log \left(1\;256\right)
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log⁡(xn)=nlog⁡(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
    • 4,12log⁡(x)<log⁡(1  256)4,12\log \left(x\right)<\log \left(1\;256\right)
    log⁡(x)<log⁡(1  256)4,12\log \left(\red{x}\right)<\blue{\frac{\log \left(1\;256\right)}{4,12} }
      Soient xx un réel strictement positif et AA un réel. On a alors :
  • log⁡(x)<A⇔x<10A\log \left(\red{x}\right)<\blue{A}\Leftrightarrow \red{x}<10^{\blue{A}}
    • x<10log⁡(1  256)4,12\red{x}<10^{\blue{\frac{\log \left(1\;256\right)}{4,12} }}
    Comme x>0x>0, l'ensemble des solutions est l'intervalle ]0;10log⁡(1  256)4,12[\left]0;10^{\frac{\log \left(1\;256\right)}{4,12} }\right[
    Question 3

    x1,98≤19x^{1,98} \le19

    Correction
    x1,98≤19x^{1,98} \le19
  • A=B⇔log⁡(A)=log⁡(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
    • log⁡(x1,98)≤log⁡(19)\log \left(x^{1,98} \right)\le\log \left(19\right)
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log⁡(xn)=nlog⁡(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
    • 1,98log⁡(x)≤log⁡(19)1,98\log \left(x\right)\le\log \left(19\right)
    log⁡(x)≤log⁡(19)1,98\log \left(\red{x}\right)\le\blue{\frac{\log \left(19\right)}{1,98} }
      Soient xx un réel strictement positif et AA un réel. On a alors :
  • log⁡(x)≤A⇔x≤10A\log \left(\red{x}\right)\le\blue{A}\Leftrightarrow \red{x}\le10^{\blue{A}}
    • x≤10log⁡(19)1,98\red{x}\le10^{\blue{\frac{\log \left(19\right)}{1,98} }}
    Comme x>0x>0, l'ensemble des solutions est l'intervalle ]0;10log⁡(19)1,98]\left]0;10^{\frac{\log \left(19\right)}{1,98} }\right]
    Question 4

    x7,54≥2x^{7,54} \ge 2 500500

    Correction
    x7,54≥2x^{7,54} \ge 2 500500
  • A=B⇔log⁡(A)=log⁡(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
    • log⁡(x7,54)≥log⁡(2  500)\log \left(x^{7,54} \right)\ge\log \left(2\;500\right)
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log⁡(xn)=nlog⁡(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
    • 7,54log⁡(x)≥log⁡(2  500)7,54\log \left(x\right)\ge\log \left(2\;500\right)
    log⁡(x)≥log⁡(2  500)7,54\log \left(\red{x}\right)\ge\blue{\frac{\log \left(2\;500\right)}{7,54} }
      Soient xx un réel strictement positif et AA un réel. On a alors :
  • log⁡(x)≥A⇔x≥10A\log \left(\red{x}\right)\ge\blue{A}\Leftrightarrow \red{x}\ge10^{\blue{A}}
    • x≥10log⁡(2  500)7,54\red{x}\ge10^{\blue{\frac{\log \left(2\;500\right)}{7,54} }}
    L'ensemble des solutions est l'intervalle [10log⁡(2  500)7,54;+∞[\left[10^{\frac{\log \left(2\;500\right)}{7,54} }; +\infty\right[