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Résoudre une inéquation de la forme ax≥ba^{x} \ge b ou de la forme ax≤ba^{x} \le b - Exercice 1

10 min
25
Résoudre dans R\mathbb{R} les inéquations suivantes :
Question 1

3x<2603^{x} <260

Correction
3x<2603^{x} <260
  • A<B⇔log⁡(A)<log⁡(B)A<B\Leftrightarrow \log \left(A\right)<\log \left(B\right)
    • log⁡(3x)<log⁡(260)\log \left(3^{x} \right)<\log \left(260\right)
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log⁡(xn)=nlog⁡(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
    • xlog⁡(3)<log⁡(260)x\log \left(3\right)<\log \left(260\right) . Nous allons diviser par log⁡(3)\log \left(3\right) qui est strictement positif car (3>1)\left(3>1\right), on ne change donc pas le sens de l'inégalité.
    x<log⁡(260)log⁡(3)x<\frac{\log \left(260\right)}{\log \left(3\right)}
    x<log⁡(260)log⁡(3)x<\frac{\log \left(260\right)}{\log \left(3\right)}
    L'ensemble des solutions est l'intervalle ]−∞;log⁡(260)log⁡(3)[\left]-\infty ;\frac{\log \left(260\right)}{\log \left(3\right)} \right[
    Question 2

    0,4x<1000,4^{x} <100

    Correction
    0,4x<1000,4^{x} <100
  • A<B⇔log⁡(A)<log⁡(B)A<B\Leftrightarrow \log \left(A\right)<\log \left(B\right)
    • log⁡(0,4x)<log⁡(100)\log \left(0,4^{x} \right)<\log \left(100\right)
    xlog⁡(0,4)<log⁡(100)x\log \left(0,4\right)<\log \left(100\right)
    x>log⁡(100)log⁡(0,4)x>\frac{\log \left(100\right)}{\log \left(0,4\right)} . Nous allons diviser par log⁡(0,4)\log \left(0,4\right) qui est strictement négatif car (0<0,4<1)\left(0<0,4<1\right), on change donc le sens de l'inégalité.
    L'ensemble des solutions est l'intervalle]log⁡(100)log⁡(0,4);+∞[\left]\frac{\log \left(100\right)}{\log \left(0,4\right)} ;+\infty \right[
    Question 3

    3.6x<9473.6^{x} <947

    Correction
    3.6x<9473.6^{x} <947
  • A<B⇔log⁡(A)<log⁡(B)A<B\Leftrightarrow \log \left(A\right)<\log \left(B\right)
    • log⁡(3.6x)<log⁡(947)\log \left(3.6^{x} \right)<\log \left(947\right)
    xlog⁡(3.6)<log⁡(947)x\log \left(3.6\right)<\log \left(947\right)
    x<log⁡(947)log⁡(3.6)x<\frac{\log \left(947\right)}{\log \left(3.6\right)} . Nous allons diviser par log⁡(3.6)\log \left(3.6\right) qui est strictement positif car (3.6>1)\left(3.6>1\right), on ne change donc pas le sens de l'inégalité.
    L'ensemble des solutions est l'intervalle]−∞  ;  log⁡(947)log⁡(3.6)[\left]-\infty\;;\; \frac{\log \left(947\right)}{\log \left(3.6\right)}\right[
    Question 4

    0,01x<230,01^{x} <23

    Correction
    0,01x<230,01^{x} <23
  • A<B⇔log⁡(A)<log⁡(B)A<B\Leftrightarrow \log \left(A\right)<\log \left(B\right)
    • log⁡(0,01x)<log⁡(23)\log \left(0,01^{x} \right)<\log \left(23\right)
    xlog⁡(0,01)<log⁡(23)x\log \left(0,01\right)<\log \left(23\right)
    x>log⁡(23)log⁡(0,01)x>\frac{\log \left(23\right)}{\log \left(0,01\right)} . Nous allons diviser par log⁡(0,01)\log \left(0,01\right) qui est strictement négatif car (0<0,01<1)\left(0<0,01<1\right), on change donc le sens de l'inégalité.
    L'ensemble des solutions est l'intervalle]log⁡(23)log⁡(0,01);+∞[\left]\frac{\log \left(23\right)}{\log \left(0,01\right)} ;+\infty \right[

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