Fonction logarithme décimal

Propriétés algébriques du logarithme décimal - Exercice 2

8 min
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Question 1
Ecrire les nombres suivants sous la forme alog(2)a\log \left(2\right)aa est un réel .

A=log(8)A=\log \left(8\right)

Correction
    Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log(xn)=nlog(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
  • A=log(8)A=\log \left(8\right)
    A=log(23)A=\log \left(2^{3} \right)
    Ainsi :
    A=3log(2)A=3\log \left(2\right)

    Question 2

    B=log(16)+log(4)B=\log \left(16\right)+\log \left(4\right)

    Correction
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log(xn)=nlog(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
  • B=log(16)+log(4)B=\log \left(16\right)+\log \left(4\right)
    B=log(24)+log(22)B=\log \left(2^{4} \right)+\log \left(2^{2} \right)
    B=4log(2)+2log(2)B=4\log \left(2\right)+2\log \left(2\right)
    Ainsi :
    B=6log(2)B=6\log \left(2\right)

    Question 3

    C=log(0,125)+log(64)C=\log \left(0,125\right)+\log \left(64\right)

    Correction
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log(xn)=nlog(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
  • log(1x)=log(x)\log \left(\frac{1}{x} \right)=-\log \left(x\right)
  • C=log(0,125)+log(64)C=\log \left(0,125\right)+\log \left(64\right)
    C=log(18)+log(26)C=\log \left(\frac{1}{8} \right)+\log \left(2^{6} \right)
    C=log(8)+log(26)C=-\log \left(8\right)+\log \left(2^{6} \right)
    C=log(23)+log(26)C=-\log \left(2^{3} \right)+\log \left(2^{6} \right)
    C=3log(2)+6log(2)C=-3\log \left(2\right)+6\log \left(2\right)
    Ainsi :
    C=3log(2)C=3\log \left(2\right)

    Question 4

    D=log(48)log(12)D=\log \left(48\right)-\log \left(12\right)

    Correction
      Soient xx et yy deux réels strictement positifs et nn un entier relatif . On a alors :
  • log(xn)=nlog(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
  • log(xy)=log(x)+log(y)\log \left(xy\right)=\log \left(x\right)+\log \left(y\right)
  • D=log(48)log(12)D=\log \left(48\right)-\log \left(12\right)
    D=log(16×3)log(4×3)D=\log \left(16\times 3\right)-\log \left(4\times 3\right)
    D=log(16)+log(3)(log(4)+log(3))D=\log \left(16\right)+\log \left(3\right)-\left(\log \left(4\right)+\log \left(3\right)\right)
    D=log(16)+log(3)log(4)log(3)D=\log \left(16\right)+\log \left(3\right)-\log \left(4\right)-\log \left(3\right)
    D=log(16)log(4)D=\log \left(16\right)-\log \left(4\right)
    D=log(24)log(22)D=\log \left(2^{4} \right)-\log \left(2^{2} \right)
    D=4log(2)2log(2)D=4\log \left(2\right)-2\log \left(2\right)
    Ainsi :
    D=2log(2)D=2\log \left(2\right)