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Tableaux de signes - Exercice 2

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Question 1
Etablir le tableau de signe de chacune des fonctions produits suivantes :

f(x)=(x6)(3x9)f\left(x\right)=\left(x-6\right)\left(3x-9\right)

Correction

Pour étudier le signe d'un produit :
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaître sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
f(x)=(x6)(3x9)f\left(x\right)=\left(x-6\right)\left(3x-9\right)
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x6=0x=6x-6=0\Leftrightarrow x=6
    Soit xx6x\mapsto x-6 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x6x-6 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=6x=6 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • 3x9=03x=9x=93=33x-9=0\Leftrightarrow 3x=9\Leftrightarrow x=\frac{9}{3}=3
    Soit x3x9x\mapsto 3x-9 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=3>0a=3>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 3x93x-9 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=3x=3 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
    Question 2

    f(x)=(3x18)(2x2)f\left(x\right)=\left(-3x-18\right)\left(2x-2\right)

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
    f(x)=(3x18)(2x2)f\left(x\right)=\left(-3x-18\right)\left(2x-2\right)
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • 3x18=03x=18x=183=6-3x-18=0\Leftrightarrow -3x=18\Leftrightarrow x=\frac{18}{-3}=-6
    Soit x3x18x\mapsto -3x-18 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=3<0a=-3<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne 3x18-3x-18 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=6x=-6 on mettra le signe ()\left(-\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • 2x2=02x=2x=22=12x-2=0\Leftrightarrow 2x=2\Leftrightarrow x=\frac{2}{2}=1
    Soit x2x2x\mapsto 2x-2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=2>0a=2>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x22x-2 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
    Question 3

    f(x)=(3x+15)(5x+6)f\left(x\right)=\left(-3x+15\right)\left(5x+6\right)

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
    f(x)=(3x+15)(5x+6)f\left(x\right)=\left(-3x+15\right)\left(5x+6\right)
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • 3x+15=03x=15x=153=5-3x+15=0\Leftrightarrow -3x=-15\Leftrightarrow x=\frac{-15}{-3}=5
    Soit x3x+15x\mapsto -3x+15 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=3<0a=-3<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne 3x+15-3x+15 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=5 on mettra le signe ()\left(-\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • 5x+6=05x=6x=65=655x+6=0\Leftrightarrow 5x=-6\Leftrightarrow x=\frac{-6}{5}=-\frac{6}{5}
    Soit x5x+6x\mapsto 5x+6 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=5>0a=5>0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne 5x+65x+6 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=65x=-\frac{6}{5} on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
    Question 4

    f(x)=(4x13)(6x+18)f\left(x\right)=\left(4x-13\right)\left(6x+18\right)

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
    f(x)=(4x13)(6x+18)f\left(x\right)=\left(4x-13\right)\left(6x+18\right)
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • 4x13=04x=13x=1344x-13=0\Leftrightarrow 4x=13\Leftrightarrow x=\frac{13}{4}
    Soit x4x13x\mapsto 4x-13 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=4>0a=4>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 4x134x-13 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=134x=\frac{13}{4} on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • 6x+18=06x=18x=186=36x+18=0\Leftrightarrow 6x=-18\Leftrightarrow x=\frac{-18}{6}=-3
    Soit x6x+18x\mapsto 6x+18 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=6>0a=6>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 6x+186x+18 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=3x=-3 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)