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Variables aléatoires discrètes et loi binomiale
Loi binomiale - Exercice 1
5 min
20
Question 1
La variable aléatoire
X
X
X
suit la loi binomiale
B
(
10
;
0
,
2
)
\mathscr{B}\left(10;0,2\right)
B
(
10
;
0
,
2
)
Sachant que
(
10
4
)
=
210
\left(\begin{array}{c} {10} \\ {4} \end{array}\right)=210
(
10
4
)
=
210
, calculer
P
(
X
=
4
)
P\left(X=4\right)
P
(
X
=
4
)
.
Correction
Soit
X
X
X
une variable aléatoire suivant la loi binomiale
B
(
n
;
p
)
\mathscr{B}\left(n;p\right)
B
(
n
;
p
)
alors, pour tout entier
k
k
k
compris entre
0
0
0
et
n
n
n
, on a :
P
(
X
=
k
)
=
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
P\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)p^{k} \left(1-p\right)^{n-k}
P
(
X
=
k
)
=
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
Ainsi :
P
(
X
=
4
)
=
(
10
4
)
×
(
0
,
2
)
4
×
(
1
−
0
,
2
)
10
−
4
P\left(X=4\right)=\left(\begin{array}{c} {10} \\ {4} \end{array}\right)\times \left(0,2 \right)^{4} \times \left(1-0,2 \right)^{10-4}
P
(
X
=
4
)
=
(
10
4
)
×
(
0
,
2
)
4
×
(
1
−
0
,
2
)
10
−
4
P
(
X
=
4
)
=
(
10
4
)
×
(
0
,
2
)
4
×
(
0
,
8
)
6
P\left(X=4\right)=\left(\begin{array}{c} {10} \\ {4} \end{array}\right)\times \left(0,2 \right)^{4} \times \left(0,8\right)^{6}
P
(
X
=
4
)
=
(
10
4
)
×
(
0
,
2
)
4
×
(
0
,
8
)
6
P
(
X
=
4
)
=
210
×
(
0
,
2
)
4
×
(
0
,
8
)
6
P\left(X=4\right)=210\times \left(0,2 \right)^{4} \times \left(0,8\right)^{6}
P
(
X
=
4
)
=
210
×
(
0
,
2
)
4
×
(
0
,
8
)
6
Finalement :
P
(
X
=
4
)
≈
0
,
09
P\left(X=4\right) \approx 0,09
P
(
X
=
4
)
≈
0
,
09
Question 2
Sachant que
(
10
1
)
=
10
\left(\begin{array}{c} {10} \\ {1} \end{array}\right)=10
(
10
1
)
=
10
, calculer
P
(
X
=
1
)
P\left(X=1\right)
P
(
X
=
1
)
.
Correction
Soit
X
X
X
une variable aléatoire suivant la loi binomiale
B
(
n
;
p
)
\mathscr{B}\left(n;p\right)
B
(
n
;
p
)
alors, pour tout entier
k
k
k
compris entre
0
0
0
et
n
n
n
, on a :
P
(
X
=
k
)
=
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
P\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)p^{k} \left(1-p\right)^{n-k}
P
(
X
=
k
)
=
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
Ainsi :
P
(
X
=
1
)
=
(
10
1
)
×
(
0
,
2
)
1
×
(
1
−
0
,
2
)
10
−
1
P\left(X=1\right)=\left(\begin{array}{c} {10} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(0,2 \right)^{1} \times \left(1-0,2 \right)^{10-1}
P
(
X
=
1
)
=
(
10
1
)
×
(
0
,
2
)
1
×
(
1
−
0
,
2
)
10
−
1
P
(
X
=
1
)
=
(
10
1
)
×
(
0
,
2
)
1
×
(
0
,
8
)
9
P\left(X=1\right)=\left(\begin{array}{c} {10} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(0,2 \right)^{1} \times \left(0,8\right)^{9}
P
(
X
=
1
)
=
(
10
1
)
×
(
0
,
2
)
1
×
(
0
,
8
)
9
P
(
X
=
1
)
=
10
×
(
0
,
2
)
1
×
(
0
,
8
)
9
P\left(X=1\right)=10\times \left(0,2 \right)^{1} \times \left(0,8\right)^{9}
P
(
X
=
1
)
=
10
×
(
0
,
2
)
1
×
(
0
,
8
)
9
Finalement :
P
(
X
=
1
)
≈
0
,
27
P\left(X=1\right) \approx 0,27
P
(
X
=
1
)
≈
0
,
27
Question 3
Sachant que
(
10
7
)
=
120
\left(\begin{array}{c} {10} \\ {7} \end{array}\right)=120
(
10
7
)
=
120
, calculer
P
(
X
=
7
)
P\left(X=7\right)
P
(
X
=
7
)
.
Correction
Soit
X
X
X
une variable aléatoire suivant la loi binomiale
B
(
n
;
p
)
\mathscr{B}\left(n;p\right)
B
(
n
;
p
)
alors, pour tout entier
k
k
k
compris entre
0
0
0
et
n
n
n
, on a :
P
(
X
=
k
)
=
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
P\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)p^{k} \left(1-p\right)^{n-k}
P
(
X
=
k
)
=
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
Ainsi :
P
(
X
=
7
)
=
(
10
7
)
×
(
0
,
2
)
7
×
(
1
−
0
,
2
)
10
−
7
P\left(X=7\right)=\left(\begin{array}{c} {10} \\ {7} \end{array}\right)\times \left(0,2 \right)^{7} \times \left(1-0,2 \right)^{10-7}
P
(
X
=
7
)
=
(
10
7
)
×
(
0
,
2
)
7
×
(
1
−
0
,
2
)
10
−
7
P
(
X
=
7
)
=
(
10
7
)
×
(
0
,
2
)
7
×
(
0
,
8
)
3
P\left(X=7\right)=\left(\begin{array}{c} {10} \\ {7} \end{array}\right)\times \left(0,2 \right)^{7} \times \left(0,8\right)^{3}
P
(
X
=
7
)
=
(
10
7
)
×
(
0
,
2
)
7
×
(
0
,
8
)
3
P
(
X
=
7
)
=
120
×
(
0
,
2
)
7
×
(
0
,
8
)
3
P\left(X=7\right)=120\times \left(0,2 \right)^{7} \times \left(0,8\right)^{3}
P
(
X
=
7
)
=
120
×
(
0
,
2
)
7
×
(
0
,
8
)
3
Finalement :
P
(
X
=
7
)
≈
0
,
30
P\left(X=7\right) \approx 0,30
P
(
X
=
7
)
≈
0
,
30