Variables aléatoires discrètes et loi binomiale

Espérance d'une variable aléatoire - Exercice 2

5 min
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Question 1
Soit aa est un réel.
Soit XX la variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous :

Calculer la valeur de aa.

Correction
Le tableau ci-dessous représente une loi de probabilité ainsi la somme des probabilités est égale à 1\red{1}.
Il vient alors que :
P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)+P(X=8)+P(X=10)=1P\left(X=2\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=6\right)+P\left(X=8\right)+P\left(X=10\right)=1
0,1+0,25+a+0,1+0,05=10,1+0,25+\red{a}+0,1+0,05=1
a+0,5=1\red{a}+0,5=1
a=1−0,5\red{a}=1-0,5
Ainsi :
a=0,5\red{a}=0,5

La loi de probabilité complétée est donnée ci-dessous :
Question 2

Calculer l'espérance de la variable aléatoire XX .

Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
E(X)=2×0,1+4×0,25+6×0,5+8×0,1+10×0,05E\left(X\right)=2\times 0,1+4\times 0,25+6\times 0,5+8\times 0,1+10\times 0,05
Ainsi :
E(X)=5,5E\left(X\right)=5,5