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Variables aléatoires discrètes et loi binomiale
Calculer des coefficients binomiaux avec les propriétés - Exercice 1
10 min
15
Question 1
En utilisant les propriétés du cours et sans calculatrice, déterminer :
1.
\red{\bf{1.}}
1.
A
=
(
8
8
)
A=\left(\begin{array}{c} {8} \\ {8} \end{array}\right)
A
=
(
8
8
)
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
2.
\red{\bf{2.}}
2.
B
=
(
13
1
)
B=\left(\begin{array}{c} {13} \\ {1} \end{array}\right)
B
=
(
13
1
)
3.
\red{\bf{3.}}
3.
C
=
(
13
12
)
C=\left(\begin{array}{c} {13} \\ {12} \end{array}\right)
C
=
(
13
12
)
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
4.
\red{\bf{4.}}
4.
D
=
(
17
0
)
D=\left(\begin{array}{c} {17} \\ {0} \end{array}\right)
D
=
(
17
0
)
Correction
Pour tout entier naturel
n
n
n
et pour tout entier
k
k
k
tel que
0
≤
k
≤
n
0\le k \le n
0
≤
k
≤
n
, on a :
(
n
0
)
=
1
\left(\begin{array}{c} {n} \\ {0} \end{array}\right)=1
(
n
0
)
=
1
et
(
n
n
)
=
1
\left(\begin{array}{c} {n} \\ {n} \end{array}\right)=1
(
n
n
)
=
1
Pour tout entier naturel
n
n
n
non nul, on a :
(
n
1
)
=
n
\left(\begin{array}{c} {{\color{green}{n}}} \\ {1} \end{array}\right)={\color{green}{n}}
(
n
1
)
=
n
Propri
e
ˊ
t
e
ˊ
de sym
e
ˊ
trie
\red{\text{Propriété de symétrie}}
Propri
e
ˊ
t
e
ˊ
de sym
e
ˊ
trie
: Pour tout entier naturel
k
k
k
compris entre
0
0
0
et
n
−
1
n-1
n
−
1
, on a :
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{n}}} \\ {{\color{red}{k}}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{n}}} \\ {{\color{blue}{n}}-{\color{red}{k}}} \end{array}\right)
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
1.
\red{\bf{1.}}
1.
A
=
(
8
8
)
=
1
A=\left(\begin{array}{c} {8} \\ {8} \end{array}\right)=1
A
=
(
8
8
)
=
1
2.
\red{\bf{2.}}
2.
B
=
(
13
1
)
=
13
B=\left(\begin{array}{c} {{\color{green}{13}}} \\ {1} \end{array}\right)={\color{green}{13}}
B
=
(
13
1
)
=
13
3.
\red{\bf{3.}}
3.
C
=
(
13
12
)
C=\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{13}}} \\ {{\color{red}{12}}} \end{array}\right)
C
=
(
13
12
)
ainsi :
C
=
(
13
13
−
12
)
=
(
13
1
)
C=\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{13}}} \\ {{\color{blue}{13}}-{\color{red}{12}}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {13} \\ {1} \end{array}\right)
C
=
(
13
13
−
12
)
=
(
13
1
)
. Il en résulte donc que
C
=
(
13
12
)
=
(
13
1
)
=
13
C=\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{13}}} \\ {{\color{red}{12}}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {13} \\ {1} \end{array}\right)=13
C
=
(
13
12
)
=
(
13
1
)
=
13
4.
\red{\bf{4.}}
4.
D
=
(
17
0
)
=
1
D=\left(\begin{array}{c} {17} \\ {0} \end{array}\right)=1
D
=
(
17
0
)
=
1
Question 2
On admet que
(
12
7
)
=
792
\left(\begin{array}{c} {12} \\ {7} \end{array}\right)=792
(
12
7
)
=
792
. Calculer
(
12
5
)
\left(\begin{array}{c} {12} \\ {5} \end{array}\right)
(
12
5
)
Correction
Propri
e
ˊ
t
e
ˊ
de sym
e
ˊ
trie
\red{\text{Propriété de symétrie}}
Propri
e
ˊ
t
e
ˊ
de sym
e
ˊ
trie
: Pour tout entier naturel
k
k
k
compris entre
0
0
0
et
n
−
1
n-1
n
−
1
, on a :
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{n}}} \\ {{\color{red}{k}}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{n}}} \\ {{\color{blue}{n}}-{\color{red}{k}}} \end{array}\right)
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
(
12
7
)
=
(
12
12
−
7
)
=
(
12
5
)
\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{12}}} \\ {{\color{red}{7}}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{12}}} \\ {{\color{blue}{12}}-{\color{red}{7}}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {12} \\ {5} \end{array}\right)
(
12
7
)
=
(
12
12
−
7
)
=
(
12
5
)
Il en résulte donc que
(
12
5
)
=
792
\left(\begin{array}{c} {12} \\ {5} \end{array}\right)=792
(
12
5
)
=
792
Question 3
On admet que
(
10
8
)
=
45
\left(\begin{array}{c} {10} \\ {8} \end{array}\right)=45
(
10
8
)
=
45
et
(
10
9
)
=
10
\left(\begin{array}{c} {10} \\ {9} \end{array}\right)=10
(
10
9
)
=
10
. Calculer
(
11
9
)
\left(\begin{array}{c} {11} \\ {9} \end{array}\right)
(
11
9
)
Correction
Formule de Pascal
\red{\text{Formule de Pascal }}
Formule de Pascal
:
Pour tous entiers naturels
n
n
n
et
k
k
k
tels que
n
≥
1
n\ge 1
n
≥
1
et
0
≤
k
≤
n
−
1
0\le k \le n-1
0
≤
k
≤
n
−
1
, on a :
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k+1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {n+1} \\ {k+1} \end{array}\right)
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
Nous appliquons la formule de pascal :
(
10
8
)
+
(
10
8
+
1
)
=
(
10
+
1
8
+
1
)
\left(\begin{array}{c} {10} \\ {8} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {10} \\ {8+1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {10+1} \\ {8+1} \end{array}\right)
(
10
8
)
+
(
10
8
+
1
)
=
(
10
+
1
8
+
1
)
(
10
8
)
+
(
10
9
)
=
(
11
9
)
\left(\begin{array}{c} {10} \\ {8} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {10} \\ {9} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {11} \\ {9} \end{array}\right)
(
10
8
)
+
(
10
9
)
=
(
11
9
)
45
+
10
=
(
11
9
)
45+10=\left(\begin{array}{c} {11} \\ {9} \end{array}\right)
45
+
10
=
(
11
9
)
Ainsi :
(
11
9
)
=
55
\left(\begin{array}{c} {11} \\ {9} \end{array}\right)=55
(
11
9
)
=
55
Question 4
Calculer
(
135
134
)
\left(\begin{array}{c} {135} \\ {134} \end{array}\right)
(
135
134
)
Correction
Propri
e
ˊ
t
e
ˊ
de sym
e
ˊ
trie
\red{\text{Propriété de symétrie}}
Propri
e
ˊ
t
e
ˊ
de sym
e
ˊ
trie
: Pour tout entier naturel
k
k
k
compris entre
0
0
0
et
n
−
1
n-1
n
−
1
, on a :
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{n}}} \\ {{\color{red}{k}}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{n}}} \\ {{\color{blue}{n}}-{\color{red}{k}}} \end{array}\right)
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
(
135
134
)
=
(
135
135
−
134
)
=
(
135
1
)
\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{135}}} \\ {{\color{red}{134}}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{135}}} \\ {{\color{blue}{135}}-{\color{red}{134}}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {135} \\ {1} \end{array}\right)
(
135
134
)
=
(
135
135
−
134
)
=
(
135
1
)
Pour tout entier naturel
n
n
n
non nul, on a :
(
n
1
)
=
n
\left(\begin{array}{c} {{\color{green}{n}}} \\ {1} \end{array}\right)={\color{green}{n}}
(
n
1
)
=
n
Or
(
135
1
)
=
135
\left(\begin{array}{c} {{\color{green}{135}}} \\ {1} \end{array}\right)={\color{green}{135}}
(
135
1
)
=
135
Il en résulte donc que
(
135
134
)
=
1
\left(\begin{array}{c} {135} \\ {134} \end{array}\right)=1
(
135
134
)
=
1
Question 5
On admet que
(
12
6
)
=
924
\left(\begin{array}{c} {12} \\ {6} \end{array}\right)=924
(
12
6
)
=
924
et
(
12
7
)
=
792
\left(\begin{array}{c} {12} \\ {7} \end{array}\right)=792
(
12
7
)
=
792
. Calculer
(
13
7
)
\left(\begin{array}{c} {13} \\ {7} \end{array}\right)
(
13
7
)
Correction
Formule de Pascal
\red{\text{Formule de Pascal }}
Formule de Pascal
:
Pour tous entiers naturels
n
n
n
et
k
k
k
tels que
n
≥
1
n\ge 1
n
≥
1
et
0
≤
k
≤
n
−
1
0\le k \le n-1
0
≤
k
≤
n
−
1
, on a :
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k+1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {n+1} \\ {k+1} \end{array}\right)
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
Nous appliquons la formule de pascal :
(
12
6
)
+
(
12
6
+
1
)
=
(
12
+
1
6
+
1
)
\left(\begin{array}{c} {12} \\ {6} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {12} \\ {6+1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {12+1} \\ {6+1} \end{array}\right)
(
12
6
)
+
(
12
6
+
1
)
=
(
12
+
1
6
+
1
)
(
12
6
)
+
(
12
7
)
=
(
13
7
)
\left(\begin{array}{c} {12} \\ {6} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {12} \\ {7} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {13} \\ {7} \end{array}\right)
(
12
6
)
+
(
12
7
)
=
(
13
7
)
924
+
792
=
(
13
7
)
924+792=\left(\begin{array}{c} {13} \\ {7} \end{array}\right)
924
+
792
=
(
13
7
)
Ainsi :
(
13
7
)
=
1
716
\left(\begin{array}{c} {13} \\ {7} \end{array}\right)=1\;716
(
13
7
)
=
1
716
Question 6
Soit
n
n
n
un entier naturel.
Déterminer
(
n
n
−
1
)
\left(\begin{array}{c} {n} \\ {n-1} \end{array}\right)
(
n
n
−
1
)
Correction
Pour tout entier naturel
n
n
n
non nul, on a :
(
n
1
)
=
n
\left(\begin{array}{c} {{\color{green}{n}}} \\ {1} \end{array}\right)={\color{green}{n}}
(
n
1
)
=
n
Nous savons donc que
(
n
1
)
=
n
\left(\begin{array}{c} {{\color{green}{n}}} \\ {1} \end{array}\right)={\color{green}{n}}
(
n
1
)
=
n
Propri
e
ˊ
t
e
ˊ
de sym
e
ˊ
trie
\red{\text{Propriété de symétrie}}
Propri
e
ˊ
t
e
ˊ
de sym
e
ˊ
trie
: Pour tout entier naturel
k
k
k
compris entre
0
0
0
et
n
−
1
n-1
n
−
1
, on a :
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{n}}} \\ {{\color{red}{k}}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{n}}} \\ {{\color{blue}{n}}-{\color{red}{k}}} \end{array}\right)
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
Ainsi :
(
n
1
)
=
(
n
n
−
1
)
=
n
\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{n}}} \\ {{\color{red}{1}}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{n}}} \\ {{\color{blue}{n}}-{\color{red}{1}}} \end{array}\right)=n
(
n
1
)
=
(
n
n
−
1
)
=
n