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Suite géométrique sous forme de problème - Exercice 1

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Une grande entreprise de voitures est venue s'installer dans une ville. La population de cette ville, qui était de 1212 000000 habitants en 20152015, augmente de 2%2\% par an depuis l'installation de cette entreprise .
On note u0u_{0} la population en 20152015 et unu_{n} la population nn années plus tard, c’est-à-dire en 2015+n2015+n .
Question 1

Combien y-avait-il d’habitants en 20162016 puis en 20172017 ?

Correction
  • Augmenter une grandeur de t%t\% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur 1+t1001+\frac{t}{100}
  • Diminuer une grandeur de t%t\% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur 1−t1001-\frac{t}{100}
Le coefficient multiplicateur est donc égale à
1+2100=1,021+\frac{2}{100}=1,02

Ainsi :
  • Calcul de u1u_{1} .
    • u1=1,02×u0u_{1} =1,02\times u_{0}
    u1=1,02×12000u_{1} =1,02\times 12000
    d'où :
    u1=12240u_{1} =12240
  • Calcul de u2u_{2} .
    • u2=1,02×u1u_{2} =1,02\times u_{1}
    u2=1,02×12240u_{2} =1,02\times 12240 d'où :
    u2=12484,8u_{2} =12484,8

    En 20162016, il y avait 1212 240240 habitants et en 20172017, il y avait 1212 485485 habitants ( nous avons ici arrondi à l'entier supérieur ) .
    Question 2

    Montrer que la suite est géometrique ; préciser sa raison et son terme initial.

    Correction
    Dire que le population est augmenté de 2%2\% par an revient à multiplier{\color{blue}\text{multiplier}} la population par 1+2100=1,021+\frac{2}{100}=1,02 chaque année.
    La suite (un)\left(u_{n}\right) est donc une suite géométrique. Son premier terme est u0=12u_{0}=12 000000 et sa raison est q=1,02q = 1,02.
    Question 3

    Exprimer unu_{n} en fonction de nn .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=12u_{0}=12 000000 et sa raison est q=1,02q = 1,02.
    Il en résulte donc que :
    un=12000×1,02nu_{n} =12000\times1,02^{n}

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