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Suite arithmétique : Ce qu'il faut savoir - Exercice 4

5 min
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Soit nn un entier naturel .
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite définie par : {u0=2un+1=un+7\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {2} \\ {u_{n+1} } & {=} & {u_{n} +7} \end{array}\right.
Question 1

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique dont on précisera la raison rr.

Correction
Si un+1−un=ru_{n+1} -u_{n} =r où rr est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est arithmétique.
Dans ce cas, le réel rr sera la raison de la suite arithmétique.
D'après l'énoncé, nous savons que :
un+1=un+7u_{n+1}=u_{n}+7 . Nous allons passer le unu_{n} qui est à droite du signe == à gauche du signe ==
Ainsi :
un+1−un=7u_{n+1}-u_{n}=7

Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique de raison r=7\red{r=7}
Question 2

Exprimer unu_{n} en fonction de nn.
Donner le terme général de la suite unu_{n} . Ces deux phrases signifient la même chose .

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=2u_{0} =2 et la raison vaut r=7r=7.
    Il en résulte donc que : un=2+n×7u_{n} =2 +n\times 7
    Autrement dit :
    un=2+7nu_{n} =2 +7n