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Suite arithmétique : Ce qu'il faut savoir - Exercice 1

7 min
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Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique de raison r=10r=10 et de premier terme u1=−5u_{1} =-5.
Question 1

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} .

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n} +r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • La raison est r=10r=10
    Ainsi :
    un+1=un+10u_{n+1} =u_{n} +10

    Question 2

    Exprimer unu_{n} en fonction de nn.
    Donner le terme général de la suite unu_{n} . Ces deux phrases signifient la même chose .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u1=−5u_{1} =-5 et la raison vaut r=10r=10.
    un=−5+(n−1)×10u_{n} =-5+\left(n-1\right)\times 10
    un=−5+10n−10u_{n} =-5+10n-10
    Autrement dit :
    un=10n−15u_{n} =10n-15

    Question 3

    En déduire la valeur du 1616ème terme de la suite .

    Correction
    Le premier terme u1=−5u_{1} =-5 ce qui signifie que le 1616ème terme de la suite est u16u_{16} .
    Nous savons que un=10n−15u_{n} =10n-15
    Il en résulte que :
    u16=10×16−15u_{16} =10\times 16-15
    u16=160−15u_{16} =160-15
    D'où :
    u16=145u_{16} =145