Suites

Savoir écrire sous forme développée l'expression S=k=0nukS=\sum _{k=0}^{n}u_{k} - Exercice 3

10 min
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Question 1
Calculer les sommes suivantes :

S=k=112kS=\sum _{k=1}^{12}k

Correction
La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
u0+u1++un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
S=k=112k=1+2+3++12S=\sum _{k=1}^{12}k=1+2+3+\ldots+12
On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique de raison r=1r=1 et de premier terme 11
Ici le dernier terme de la suite arithmétique est 12.\color{red}12.
De plus, il y a en tout 1212 termes en partant de 11 à 1212.
On applique la formule :
S=k=112kS=\sum _{k=1}^{12}k
S=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)S=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
S=12×(1+122)S=12\times \left(\frac{1+12}{2} \right)
S=12×132S=12\times {\frac{13}{2}}
Ainsi :
S=78S=78
Question 2

S=i=06iS=\sum _{i=0}^{6}i

Correction
La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
u0+u1++un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
S=i=06i=0+1+2+3++6S=\sum _{i=0}^{6}i=0+1+2+3+\ldots+6
On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique de raison r=1r=1 et de premier terme 00
Ici le dernier terme de la suite arithmétique est 6.\color{red}6.
De plus, il y a en tout 77 termes en partant de 00 à 66.
On applique la formule :
S=i=06iS=\sum _{i=0}^{6}i
S=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)S=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
S=7×(0+62)S=7\times \left(\frac{0+6}{2} \right)
S=7×62S=7\times {\frac{6}{2}}
S=7×3S=7\times 3
Ainsi :
S=21S=21
Question 3

S=i=09iS=\sum _{i=0}^{9}i

Correction
La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
u0+u1++un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
S=i=09i=0+1+2+3++9S=\sum _{i=0}^{9}i=0+1+2+3+\ldots+9
On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique de raison r=1r=1 et de premier terme 00
Ici le dernier terme de la suite arithmétique est 9.\color{red}9.
De plus, il y a en tout 1010 termes en partant de 00 à 99.
On applique la formule :
S=i=09iS=\sum _{i=0}^{9}i
S=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)S=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
S=10×(0+92)S=10\times \left(\frac{0+9}{2} \right)
S=10×92S=10\times {\frac{9}{2}}
Ainsi :
S=45S=45