Séries statistiques à deux variables

À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés - Exercice 2

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Un adepte de la bourse s'intéresse de près à la valorisation d'une entreprise depuis presque maintenant 1010 ans. Il a noté, année par année, l'évolution tarifaire de l'action présentée ci-dessous :
Question 1

Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnées (xi;yi)\left(x_i;y_i\right) associées à cette série statistique.

Correction
Question 2

Calculer les coordonnées du point moyen GG. Placer ensuite, sur le graphique précédent, le point GG.

Correction
Le point moyen G(x;y)G\left(\overline{x};\overline{y}\right) d'un nuage de points est le point dont l'abscisse est la moyenne des abscisses xix_{i}, et l'ordonnée la moyenne des ordonnées yiy_{i}.
Ses coordonnées (x;y)\left(\overline{x};\overline{y}\right) vérifient donc : x=x1+x2++xnn\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n} et y=y1+y2++ynn\overline{y}=\frac{y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n}}{n}.
Les coordonnées du point moyen GG de cette série statistique sont :
x=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+1111\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11}{11}
x=6\overline{x}=6

y=33+40+42+43+44+49+55+63+67+69+7211\overline{y}=\frac{33+40+42+43+44+49+55+63+67+69+72}{11}
y52,45\overline{y}\approx 52,45

Les coordonnées du point moyen GG sont : G(6;52,45)G\left(6;52,45\right)
Nous allons donc maintenant placer le point moyen GG dans le repère :

Question 3

À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite (d)\left(d\right) d'ajustement de yy en xx, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 10210^{-2} près.

Correction
Une équation de la droite (d)\left(d\right) d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est
y=3,97x+29,62y=3,97x+29,62
(coefficients arrondis à 10210^{-2} près)
Question 4

Tracer la droite (d)\left(d\right) dans le même repère que le nuage de points.

Correction
  • La droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés passe par le point moyen du nuage de points de la série statistique.
  • La droite (d)\left(d\right) doit  passer par le point moyen G\red{\text{ passer par le point moyen G}}. Il nous faut donc un deuxième point que nous choisissons de manière arbitraire.
    Par exemple pour x=1x=1, nous avons y=3,97×1+29,62=33,59y=3,97\times 1+29,62=33,59 . Notons A(1;33,59)A\left(1;33,59\right) ce deuxième point.
    La droite (d)\left(d\right) passe par G(6;52,45)G\left(6;52,45\right) et par le point A(1;33,59)A\left(1;33,59\right).
    Nous traçons maintenant la droite (d)\left(d\right) dans le repère.