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Sous formes de problèmes - Exercice 4

16 min

Un concessionnaire automobile fait le bilan annuel de ses ventes.

60\%

des véhicules vendus sont d’occasion, les autres sont neufs. Certains ont un moteur diesel, les autres un moteur essence.
Parmi les véhicules d’occasion,

25\%

ont un moteur diesel.
Parmi les véhicules neufs,

30\%

ont un moteur essence.
On choisit au hasard le dossier d’un véhicule vendu cette année. On note :

$N$ : " Le véhicule est neuf ".
$D$ : " C’est un véhicule diesel ".

Question 1

Compléter l’arbre de probabilité ci-dessus.

Correction

Question 2

Décrire par une phrase l’événement $N\cap D$ puis calculer sa probabilité.

Correction

L'évènement

N\cap D

correspond à l'évènement : le véhicule est neuf

{\color{blue}{\text{et}}}

il consomme du diesel .

P\left(N\cap D\right)=P\left(N\right)\times P_{N} \left(D\right)

P\left(N\cap D\right)=0,4\times 0,7

P\left(N\cap D\right)=0,28

Question 3

Montrer que $p\left(D\right) = 0,43$ .

Correction

D'après la formule des probabilités totales on a :

P\left(D\right)=P\left(N\cap D\right)+P\left(\overline{N}\cap D\right)

P\left(D\right)=P\left(N\right)\times P_{N} \left(D\right)+P\left(\overline{N}\right)\times P_{\overline{N}} \left(D\right)

Soit :

P\left(D\right)=0,4\times 0,7 +0,6\times 0,25

Ainsi :

P\left(D\right)=0,43

Question 4

On choisit au hasard un véhicule diesel. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit neuf?

Correction

Il s'agit ici d'une forme avec un "sachant" c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
On pourrait traduire la question de la manière suivante ;

{\color{blue}{\text{sachant}}}

que le véhicule est un diesel , quelle est la probabilité qu'il soit neuf.

$P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$

Il vient alors que :

P_{D} \left(N\right)=\frac{P\left(N\cap D\right)}{P\left(D\right)}

P_{D} \left(N\right)=\frac{P\left(N\right)\times P_{N} \left(D\right)}{P\left(D\right)}

P_{D} \left(N\right)=\frac{0,4\times 0,7}{0,43}

d'où :

P_{D} \left(N\right)\approx 0,65

La probabilité que le véhicule soit neuf sachant que c'est un diesel est d'environ

0,65

10^{-2}

près.

Sous formes de problèmes - Exercice 4

Compléter l’arbre de probabilité ci-dessus.

Décrire par une phrase l’événement N∩DN\cap DN∩D puis calculer sa probabilité.

Montrer que p(D)=0,43p\left(D\right) = 0,43p(D)=0,43 .

On choisit au hasard un véhicule diesel. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit neuf?

Décrire par une phrase l’événement $N\cap D$ puis calculer sa probabilité.

Montrer que $p\left(D\right) = 0,43$ .