Pour bien appréhender les probabilités conditionnelles - Exercice 4

D'après l'arbre ci-dessus, nous pouvons lire que :

$$P \left(A\right)=0,77$$

$$P_{A} \left(B\right)=0,55$$

$$P_{\overline{A}} \left(\overline{B}\right)=0,65$$

L'évènement $$A\cap B$$ correspond à l'évènement $$A$$ $${\color{blue}{\text{et}}}$$ à l’événement $$B$$.
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(B\right)$$
$$P\left(A\cap B\right)=0,77\times 0,55$$

L'évènement $$\overline{A}\cap B$$ correspond à l'évènement $$\overline{A}$$ $${\color{blue}{\text{et}}}$$ à l’événement $$B$$.
$$P\left(\overline{A}\cap B\right)=P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}} \left(B\right)$$
$$P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,23\times 0,35$$

$$A$$ et $$\overline{A}$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
$$P\left(B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)$$
D'après les questions précédentes, nous savons que : $$P\left(A\cap B\right)=0,4235$$ et $$P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,0805$$
Soit : $$P\left(B\right)=0,4235+0,0805$$
Ainsi :

Il s'agit d'une probabilité conditionnelle dont la formule est rappelée dans l'encadré. Il vient alors que :
$$P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$$
D'après les questions précédentes, nous avons vu que : $$P\left(A\cap B\right)=0,4235$$ et $$P\left(B\right)=0,504$$ . Il vient alors que :
$$P_{B} \left(A\right)=\frac{0,4235}{0,504}$$