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Pour bien appréhender les probabilités conditionnelles - Exercice 3

12 min
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L'arbre pondéré ci-dessous représente une situation de probabilité.
Question 1

Donner la valeur des probabilités P(B)P \left(B\right) ; PB(E)P_{B} \left(E\right) et PA(E‾)P_{A} \left(\overline{E}\right)

Correction
D'après l'arbre ci-dessus, nous pouvons lire que :
  • P(B)=0,15P \left(B\right)=0,15
  • PB(E)=0,1P_{B} \left(E\right)=0,1
  • PA(E‾)=0,45P_{A} \left(\overline{E}\right)=0,45
    • Question 2

    A l'aide de l'arbre, calculer P(A∩E‾)P\left(A\cap \overline{E}\right) .

    Correction
    L'évènement A∩E‾A\cap \overline{E} correspond à l'évènement AA et{\color{blue}{\text{et}}} à l’événement E‾\overline{E}.
    P(A∩E‾)=P(A)×PA(E‾)P\left(A\cap \overline{E}\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(\overline{E}\right)
    P(A∩E‾)=0,85×0,45P\left(A\cap \overline{E}\right)=0,85\times 0,45
    P(A∩E‾)=0,3825P\left(A\cap \overline{E}\right)=0,3825
    Question 3

    A l'aide de l'arbre, calculer P(B∩E‾)P\left(B\cap \overline{E}\right) .

    Correction
    L'évènement B∩E‾B\cap \overline{E} correspond à l'évènement BB et{\color{blue}{\text{et}}} à l’événement E‾\overline{E}.
    P(B∩E‾)=P(B)×PB(E‾)P\left(B\cap \overline{E}\right)=P\left(B\right)\times P_{B} \left(\overline{E}\right)
    P(B∩E‾)=0,15×0,9P\left(B\cap \overline{E}\right)=0,15\times 0,9
    P(B∩E‾)=0,135P\left(B\cap \overline{E}\right)=0,135
    Question 4

    En déduire P(E‾)P\left(\overline{E}\right)

    Correction
    AA et BB forment une partition de l'univers.
    D'après la formule des probabilités totales on a :
    P(E‾)=P(A∩E‾)+P(B∩E‾)P\left(\overline{E}\right)=P\left(A\cap \overline{E}\right)+P\left(B\cap \overline{E}\right)
    D'après les questions précédentes, nous savons que : P(A∩E‾)=0,3825P\left(A\cap \overline{E}\right)=0,3825 et P(B∩E‾)=0,135P\left(B\cap \overline{E}\right)=0,135
    Soit : P(E‾)=0,3825+0,135P\left(\overline{E}\right)=0,3825+0,135
    Ainsi :
    P(E‾)=0,5175P\left(\overline{E}\right)=0,5175

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