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Fonctions exponentielles de base $a$
Les propriétés algébriques des fonctions exponentielles de base
a
a
a
- Exercice 3
10 min
25
Question 1
Simplifier les expressions suivantes :
A
=
(
2
,
1
3
)
0
,
5
×
2
,
1
6
2
,
1
−
2
A=\left(2,1^{3} \right)^{0,5} \times \frac{2,1^{6} }{2,1^{-2} }
A
=
(
2
,
1
3
)
0
,
5
×
2
,
1
−
2
2
,
1
6
Correction
Soient
a
a
a
et
b
b
b
deux nombres réels strictement positifs et
x
x
x
et
y
y
y
deux nombres réels. On a alors :
a
x
×
a
y
=
a
x
+
y
a^{x} \times a^{y} =a^{x+y}
a
x
×
a
y
=
a
x
+
y
a
x
a
y
=
a
x
−
y
\frac{a^{x} }{a^{y} } =a^{x-y}
a
y
a
x
=
a
x
−
y
(
a
b
)
x
=
a
x
b
x
\left(ab\right)^{x} =a^{x} b^{x}
(
ab
)
x
=
a
x
b
x
1
a
x
=
a
−
x
\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
a
x
1
=
a
−
x
(
a
x
)
y
=
a
x
y
\left(a^{x} \right)^{y} =a^{xy}
(
a
x
)
y
=
a
x
y
(
a
b
)
x
=
a
x
b
x
\left(\frac{a}{b} \right)^{x} =\frac{a^{x} }{b^{x} }
(
b
a
)
x
=
b
x
a
x
A
=
(
2
,
1
3
)
0
,
5
×
2
,
1
6
2
,
1
−
2
A=\left(2,1^{3} \right)^{0,5} \times \frac{2,1^{6} }{2,1^{-2} }
A
=
(
2
,
1
3
)
0
,
5
×
2
,
1
−
2
2
,
1
6
A
=
2
,
1
3
×
0
,
5
×
2
,
1
6
−
(
−
2
)
A=2,1^{3\times{0,5}}\times2,1^{6-(-2)}
A
=
2
,
1
3
×
0
,
5
×
2
,
1
6
−
(
−
2
)
A
=
2
,
1
1
,
5
×
2
,
1
8
A=2,1^{1,5}\times2,1^{8}
A
=
2
,
1
1
,
5
×
2
,
1
8
A
=
2
,
1
1
,
5
+
8
A=2,1^{1,5+8}
A
=
2
,
1
1
,
5
+
8
Ainsi :
A
=
2
,
1
9
,
5
A=2,1^{9,5}
A
=
2
,
1
9
,
5
Question 2
B
=
(
4
2
×
4
6
7
6
)
2
B=\left(\frac{4^{2} \times 4^{6} }{7^{6} } \right)^{2}
B
=
(
7
6
4
2
×
4
6
)
2
Correction
Soient
a
a
a
et
b
b
b
deux nombres réels strictement positifs et
x
x
x
et
y
y
y
deux nombres réels. On a alors :
a
x
×
a
y
=
a
x
+
y
a^{x} \times a^{y} =a^{x+y}
a
x
×
a
y
=
a
x
+
y
a
x
a
y
=
a
x
−
y
\frac{a^{x} }{a^{y} } =a^{x-y}
a
y
a
x
=
a
x
−
y
(
a
b
)
x
=
a
x
b
x
\left(ab\right)^{x} =a^{x} b^{x}
(
ab
)
x
=
a
x
b
x
1
a
x
=
a
−
x
\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
a
x
1
=
a
−
x
(
a
x
)
y
=
a
x
y
\left(a^{x} \right)^{y} =a^{xy}
(
a
x
)
y
=
a
x
y
(
a
b
)
x
=
a
x
b
x
\left(\frac{a}{b} \right)^{x} =\frac{a^{x} }{b^{x} }
(
b
a
)
x
=
b
x
a
x
B
=
(
4
2
×
4
6
7
6
)
2
B=\left(\frac{4^{2} \times 4^{6} }{7^{6} } \right)^{2}
B
=
(
7
6
4
2
×
4
6
)
2
B
=
(
4
2
+
6
7
6
)
2
B=\left(\frac{4^{2+6} }{7^{6} } \right)^{2}
B
=
(
7
6
4
2
+
6
)
2
B
=
(
4
8
7
6
)
2
B=\left(\frac{4^{8} }{7^{6} } \right)^{2}
B
=
(
7
6
4
8
)
2
B
=
(
4
8
)
2
(
7
6
)
2
B=\frac{\left(4^{8}\right)^2 }{\left(7^{6}\right)^2 }
B
=
(
7
6
)
2
(
4
8
)
2
B
=
4
8
×
2
7
6
×
2
B=\frac{4^{8\times2} }{7^{6\times2} }
B
=
7
6
×
2
4
8
×
2
Ainsi :
B
=
4
16
7
12
B=\frac{4^{16} }{7^{12} }
B
=
7
12
4
16
Question 3
C
=
(
9
2
)
3
×
9
−
1
×
9
6
9
−
7
×
(
9
−
5
)
3
C=\left(9^{2} \right)^{3} \times \frac{9^{-1} \times 9^{6} }{9^{-7} \times \left(9^{-5} \right)^{3} }
C
=
(
9
2
)
3
×
9
−
7
×
(
9
−
5
)
3
9
−
1
×
9
6
Correction
Soient
a
a
a
et
b
b
b
deux nombres réels strictement positifs et
x
x
x
et
y
y
y
deux nombres réels. On a alors :
a
x
×
a
y
=
a
x
+
y
a^{x} \times a^{y} =a^{x+y}
a
x
×
a
y
=
a
x
+
y
a
x
a
y
=
a
x
−
y
\frac{a^{x} }{a^{y} } =a^{x-y}
a
y
a
x
=
a
x
−
y
(
a
b
)
x
=
a
x
b
x
\left(ab\right)^{x} =a^{x} b^{x}
(
ab
)
x
=
a
x
b
x
1
a
x
=
a
−
x
\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
a
x
1
=
a
−
x
(
a
x
)
y
=
a
x
y
\left(a^{x} \right)^{y} =a^{xy}
(
a
x
)
y
=
a
x
y
(
a
b
)
x
=
a
x
b
x
\left(\frac{a}{b} \right)^{x} =\frac{a^{x} }{b^{x} }
(
b
a
)
x
=
b
x
a
x
C
=
(
9
2
)
3
×
9
−
1
×
9
6
9
−
7
×
(
9
−
5
)
3
C=\left(9^{2} \right)^{3} \times \frac{9^{-1} \times 9^{6} }{9^{-7} \times \left(9^{-5} \right)^{3} }
C
=
(
9
2
)
3
×
9
−
7
×
(
9
−
5
)
3
9
−
1
×
9
6
C
=
9
2
×
3
×
9
−
1
+
6
9
−
7
×
9
−
5
×
3
C=9^{2\times3} \times \frac{9^{-1+6} }{9^{-7} \times9^{-5\times3}}
C
=
9
2
×
3
×
9
−
7
×
9
−
5
×
3
9
−
1
+
6
C
=
9
6
×
9
5
9
−
7
×
9
−
15
C=9^{6} \times \frac{9^{5} }{9^{-7} \times9^{-15}}
C
=
9
6
×
9
−
7
×
9
−
15
9
5
C
=
9
6
×
9
5
9
−
7
+
(
−
15
)
C=9^{6} \times \frac{9^{5} }{9^{-7+(-15)} }
C
=
9
6
×
9
−
7
+
(
−
15
)
9
5
C
=
9
6
×
9
5
9
−
22
C=9^{6} \times \frac{9^{5} }{9^{-22} }
C
=
9
6
×
9
−
22
9
5
C
=
9
6
×
9
5
−
(
−
22
)
C=9^{6} \times 9^{5-(-22)}
C
=
9
6
×
9
5
−
(
−
22
)
\;\;\;
⟹
\color{red}\Longrightarrow
⟹
\;\;\;
C
=
9
6
×
9
27
C=9^{6} \times 9^{27}
C
=
9
6
×
9
27
C
=
9
6
+
27
C=9^{6+27}
C
=
9
6
+
27
Ainsi :
C
=
9
33
C= 9^{33}
C
=
9
33