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Les propriétés algébriques des fonctions exponentielles de base aa - Exercice 1

5 min
10
Question 1
Simplifier les expressions suivantes :

A=43×45A=4^{3} \times 4^{5}

Correction
Soient aa et bb deux nombres réels strictement positifs et xx et yy deux nombres réels. On a alors :
  • ax×ay=ax+ya^{x} \times a^{y} =a^{x+y}
  • axay=ax−y\frac{a^{x} }{a^{y} } =a^{x-y}
  • (ab)x=axbx\left(ab\right)^{x} =a^{x} b^{x}
  • 1ax=a−x\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
  • (ax)y=axy\left(a^{x} \right)^{y} =a^{xy}
  • (ab)x=axbx\left(\frac{a}{b} \right)^{x} =\frac{a^{x} }{b^{x} }
    • A=43×45A=4^{3} \times 4^{5}
    A=43+5A=4^{3+5}
    Ainsi :
    A=48A=4^{8}
    Question 2

    B=72,1×7−1,3B=7^{2,1} \times 7^{-1,3}

    Correction
    Soient aa et bb deux nombres réels strictement positifs et xx et yy deux nombres réels. On a alors :
  • ax×ay=ax+ya^{x} \times a^{y} =a^{x+y}
  • axay=ax−y\frac{a^{x} }{a^{y} } =a^{x-y}
  • (ab)x=axbx\left(ab\right)^{x} =a^{x} b^{x}
  • 1ax=a−x\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
  • (ax)y=axy\left(a^{x} \right)^{y} =a^{xy}
  • (ab)x=axbx\left(\frac{a}{b} \right)^{x} =\frac{a^{x} }{b^{x} }
    • B=72,1×7−1,3B=7^{2,1} \times 7^{-1,3}
    B=72,1+(−1,3)B=7^{2,1+\left(-1,3\right)}
    B=72,1−1,3B=7^{2,1-1,3}
    Ainsi :
    B=70,8B=7^{0,8}
    Question 3

    C=11−3×119C=11^{-3} \times 11^{9}

    Correction
    Soient aa et bb deux nombres réels strictement positifs et xx et yy deux nombres réels. On a alors :
  • ax×ay=ax+ya^{x} \times a^{y} =a^{x+y}
  • axay=ax−y\frac{a^{x} }{a^{y} } =a^{x-y}
  • (ab)x=axbx\left(ab\right)^{x} =a^{x} b^{x}
  • 1ax=a−x\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
  • (ax)y=axy\left(a^{x} \right)^{y} =a^{xy}
  • (ab)x=axbx\left(\frac{a}{b} \right)^{x} =\frac{a^{x} }{b^{x} }
    • C=11−3×119C=11^{-3} \times 11^{9}
    C=11−3+9C=11^{-3+9}
    Ainsi :
    C=116C=11^{6}