Fonctions exponentielles de base $a$

Exercices types : 1ère partie - Exercice 2

5 min
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On donne ci-dessous le tableau de variation d'une fonction f(x)=kaxf\left(x\right)=ka^{x}
Question 1

Déterminer les valeurs de kk et aa .

Correction
D'après le tableau de variation, nous pouvons lire que f(1)=40f\left(-1\right)=40 et f(0)=8f\left(0\right)=8 .
Dans ce genre de question, il faut utiliser dans un premier temps l'information f(0)=8f\left(0\right)=8 afin de déterminer la valeur de kk .
En effet :
f(0)=8ka0=8k×1=8f\left(0\right)=8\Leftrightarrow ka^{0} =8\Leftrightarrow k\times 1=8\Leftrightarrow
k=8k=8

Il en résulte donc que : f(x)=8axf\left(x\right)=8a^{x}
Grâce à l'information f(1)=40f\left(-1\right)=40, nous allons pouvoir déterminer la valeur de aa .
Soient bb et cc deux reéls non nuls, si a1=bca^{-1} =\frac{{\color{blue}{b}}}{{\color{red}{c}}} alors a=cba=\frac{{\color{red}{c}}}{{\color{blue}{b}}}
f(1)=408a1=40a1=408a=840f\left(-1\right)=40\Leftrightarrow 8a^{-1} =40\Leftrightarrow a^{-1} =\frac{{\color{blue}{40}}}{{\color{red}{8}}} \Leftrightarrow a=\frac{{\color{red}{8}}}{{\color{blue}{40}}} \Leftrightarrow
a=0,2a=0,2

Finalement, l'expression de la fonction f(x)=kaxf\left(x\right)=ka^{x} telle que f(1)=40f\left(-1\right)=40 et f(0)=8f\left(0\right)=8 est alors f(x)=8(0,2)xf\left(x\right)=8\left(0,2\right)^{x}