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Fonctions exponentielles de base $a$

Etudier le sens de variation d'une fonction de la forme x↦kaxx\mapsto ka^{x} - Exercice 2

3 min
5
Question 1

f(x)=8×5x f\left(x\right)=8\times 5^{x}

Correction
    Soient k{\color{blue}{k}} un réel et a{\color{purple}{a}} un réel strictement positif .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k<0{\color{blue}{k<0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k<0{\color{blue}{k<0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit f(x)=8×5x f\left(x\right)={\color{blue}{8}}\times {\color{purple}{5}}^{x} où a=5>1{\color{purple}{a=5>1}} et 8>0{\color{blue}{8>0}}.
    Il en résulte donc que f(x)=8×5x f\left(x\right)=8\times 5^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
    Question 2

    h(x)=−0,1×(1,01)xh\left(x\right)=-0,1\times \left(1,01\right)^{x}

    Correction
      Soient k{\color{blue}{k}} un réel et a{\color{purple}{a}} un réel strictement positif .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k<0{\color{blue}{k<0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k<0{\color{blue}{k<0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit h(x)=−0,1×(1,01)xh\left(x\right)={\color{blue}-0,1}\times \left(1,01\right)^{x} où a=1,01>1{\color{purple}{a=1,01>1}} et k=−0,1<0{\color{blue}{k=-0,1<0}}.
    Il en résulte donc que h(x)=−0,1×(1,01)xh\left(x\right)=-0,1\times \left(1,01\right)^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
    Question 3

    f(x)=14×(67)xf\left(x\right)=\frac{1}{4} \times \left(\frac{6}{7} \right)^{x}

    Correction
      Soient k{\color{blue}{k}} un réel et a{\color{purple}{a}} un réel strictement positif .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k<0{\color{blue}{k<0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k<0{\color{blue}{k<0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit i(x)=14×(67)xi\left(x\right)={\color{blue}\frac{1}{4}}\times \left(\frac{6}{7}\right)^{x} où 0<a=67<1{\color{purple}{0<a=\frac{6}{7}<1}} et k=14>0{\color{blue}{k=\frac{1}{4}>0}}.
    Il en résulte donc que i(x)=14×(67)xi\left(x\right)=\frac{1}{4}\times \left(\frac{6}{7}\right)^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .