Fonctions exponentielles de base $a$

Etudier le sens de variation d'une fonction de la forme x↦axx\mapsto a^{x} - Exercice 2

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Question 1
Soient xx et yy deux réels tels que x≤yx \le y. Dans chaque cas, comparer les nombres donnés :

2,1x2,1^{x} et 2,1y2,1^{y}

Correction
    Soit la fonction exponentielle ff de base aa telle que x↦axx\mapsto a^{x} avec aa un réel strictement positif.
  • Si a>1a>1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
    • Comme 2,1>12,1>1, la fonction x↦2,1xx \mapsto 2,1^{x} est croissante sur R\mathbb{R}.
    Par conséquent, cette fonction conserve\red{\text{conserve}} l'ordre.
    Ainsi x≤yx \le y, on en déduit 2,1x≤2,1y2,1^{x} \le 2,1^{y}
    Question 2

    0,8x0,8^{x} et 0,8y0,8^{y}

    Correction
      Soit la fonction exponentielle ff de base aa telle que x↦axx\mapsto a^{x} avec aa un réel strictement positif.
  • Si 0<a<10<a<1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
    • Comme 0<0,8<10<0,8<1, la fonction x↦0,8xx \mapsto 0,8^{x} est décroissante sur R\mathbb{R}.
    Par conséquent, cette fonction ne conserve pas\red{\text{ne conserve pas}} l'ordre.
    Ainsi x≤yx \le y, on en déduit 0,8x≥0,8y0,8^{x} \ge 0,8^{y}
    Question 3

    4x4^{x} et 4y4^{y}

    Correction
      Soit la fonction exponentielle ff de base aa telle que x↦axx\mapsto a^{x} avec aa un réel strictement positif.
  • Si a>1a>1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
    • Comme 4>14>1, la fonction x↦4xx \mapsto 4^{x} est croissante sur R\mathbb{R}.
    Par conséquent, cette fonction conserve\red{\text{conserve}} l'ordre.
    Ainsi x≤yx \le y, on en déduit 4x≤4y4^{x} \le 4^{y}
    Question 4

    0,1x0,1^{x} et 0,1y0,1^{y}

    Correction
      Soit la fonction exponentielle ff de base aa telle que x↦axx\mapsto a^{x} avec aa un réel strictement positif.
  • Si 0<a<10<a<1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
    • Comme 0<0,1<10<0,1<1, la fonction x↦0,1xx \mapsto 0,1^{x} est décroissante sur R\mathbb{R}.
    Par conséquent, cette fonction ne conserve pas\red{\text{ne conserve pas}} l'ordre.
    Ainsi x≤yx \le y, on en déduit 0,1x≥0,1y0,1^{x} \ge 0,1^{y}