Fonctions exponentielles de base $a$

Etudier le sens de variation d'une fonction de la forme x↦axx\mapsto a^{x} - Exercice 1

8 min
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Question 1
Déterminer le sens de variation des fonctions suivantes sur R\mathbb{R} :

f(x)=3xf\left(x\right)=3^{x}

Correction
    Soit la fonction exponentielle ff de base aa telle que x↦axx\mapsto a^{x} avec aa un réel strictement positif.
  • Si 0<a<10<a<1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a>1a>1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a=1a=1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est constante\red{\text{constante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit f(x)=3xf\left(x\right)=3^{x} où a=3>1a=3>1 .
    Il en résulte donc que f(x)=3x f\left(x\right)=3^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
    Question 2

    g(x)=(54)xg\left(x\right)=\left(\frac{5}{4} \right)^{x}

    Correction
      Soit la fonction exponentielle ff de base aa telle que x↦axx\mapsto a^{x} avec aa un réel strictement positif.
  • Si 0<a<10<a<1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a>1a>1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a=1a=1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est constante\red{\text{constante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit g(x)=(54)xg\left(x\right)=\left(\frac{5}{4} \right)^{x} où a=54>1a=\frac{5}{4}>1 .
    Il en résulte donc que g(x)=(54)xg\left(x\right)=\left(\frac{5}{4} \right)^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
    Question 3

    h(x)=0,25xh\left(x\right)=0,25^{x}

    Correction
      Soit la fonction exponentielle ff de base aa telle que x↦axx\mapsto a^{x} avec aa un réel strictement positif.
  • Si 0<a<10<a<1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a>1a>1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a=1a=1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est constante\red{\text{constante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit h(x)=0,25xh\left(x\right)=0,25^{x} où a=0,25<1a=0,25<1 .
    Il en résulte donc que h(x)=0,25xh\left(x\right)=0,25^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
    Question 4

    i(x)=(73)xi\left(x\right)=\left(\frac{7}{3} \right)^{x}

    Correction
      Soit la fonction exponentielle ff de base aa telle que x↦axx\mapsto a^{x} avec aa un réel strictement positif.
  • Si 0<a<10<a<1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a>1a>1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si a=1a=1 alors f(x)=ax f\left(x\right)=a^{x} est constante\red{\text{constante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit i(x)=(73)xi\left(x\right)=\left(\frac{7}{3} \right)^{x} où a=73>1a=\frac{7}{3}>1 .
    Il en résulte donc que i(x)=(73)xi\left(x\right)=\left(\frac{7}{3} \right)^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .