Savoir écrire sous forme développée l'expression $$S=\sum _{k=0}^{n}u_{k}$$ - Exercice 3

$$S=\sum _{k=1}^{12}k=1+2+3+\ldots+12$$
On sait que $$\left(u_{n} \right)$$ est une suite arithmétique de raison $$r=1$$ et de premier terme $$1$$
Ici le dernier terme de la suite arithmétique est $$\color{red}12.$$
De plus, il y a en tout $$12$$ termes en partant de $$1$$ à $$12$$.
On applique la formule :
$$S=\sum _{k=1}^{12}k$$
$$S=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)$$
$$S=12\times \left(\frac{1+12}{2} \right)$$
$$S=12\times {\frac{13}{2}}$$
Ainsi :

$$S=\sum _{i=0}^{6}i=0+1+2+3+\ldots+6$$
On sait que $$\left(u_{n} \right)$$ est une suite arithmétique de raison $$r=1$$ et de premier terme $$0$$
Ici le dernier terme de la suite arithmétique est $$\color{red}6.$$
De plus, il y a en tout $$7$$ termes en partant de $$0$$ à $$6$$.
On applique la formule :
$$S=\sum _{i=0}^{6}i$$
$$S=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)$$
$$S=7\times \left(\frac{0+6}{2} \right)$$
$$S=7\times {\frac{6}{2}}$$
$$S=7\times 3$$
Ainsi :

$$S=\sum _{i=0}^{9}i=0+1+2+3+\ldots+9$$
On sait que $$\left(u_{n} \right)$$ est une suite arithmétique de raison $$r=1$$ et de premier terme $$0$$
Ici le dernier terme de la suite arithmétique est $$\color{red}9.$$
De plus, il y a en tout $$10$$ termes en partant de $$0$$ à $$9$$.
On applique la formule :
$$S=\sum _{i=0}^{9}i$$
$$S=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)$$
$$S=10\times \left(\frac{0+9}{2} \right)$$
$$S=10\times {\frac{9}{2}}$$
Ainsi :