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Montrer que trois nombres sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique - Exercice 4

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Dans chacun des cas suivants, démontrer si les trois nombres donnés sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique.
Question 1

u0=150u_{0} =150 ; u1=257u_{1} =257 et u2=364u_{2} =364

Correction
Soient trois nombres réels notés u0u_{0} ; u1u_{1} et u2u_{2} .
Ces trois nombres sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique si
u1u0=u2u1u_1-u_0=u_2-u_1
Nous allons donc calculer u1u0u_1-u_0 puis u2u1u_2-u_1.
Cela nous donne :
  • u1u0=257150=107u_1-u_0=257-150=107
  • u2u1=364257=107u_2-u_1=364-257=107
  • Il vient alors que :
    u1u0=u2u1u_1-u_0=u_2-u_1

    Les trois nombres u0=150u_{0} =150 ; u1=257u_{1} =257 et u2=364u_{2} =364 sont bien les termes consécutifs d'une suite arithmétique.
    Question 2

    u0=2  150u_{0} =2\;150 ; u1=2  554u_{1} =2\;554 et u2=2  957u_{2} =2\;957

    Correction
    Soient trois nombres réels notés u0u_{0} ; u1u_{1} et u2u_{2} .
    Ces trois nombres sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique si
    u1u0=u2u1u_1-u_0=u_2-u_1
    Nous allons donc calculer u1u0u_1-u_0 puis u2u1u_2-u_1.
    Cela nous donne :
  • u1u0=2  5542  150=404u_1-u_0=2\;554-2\;150=404
  • u2u1=2  9572  554=403u_2-u_1=2\;957-2\;554=403
  • Il vient alors que : u1u0u2u1\boxed{u_1-u_0\ne{u_2-u_1}}

    Les trois nombres u0=2  150u_{0} =2\;150 ; u1=2  554u_{1} =2\;554 et u2=2  957u_{2} =2\;957 ne sont pas les termes consécutifs d'une suite arithmétique.