Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 2

$$u_{1} =\frac{2}{3} u_{0} +\frac{1}{3} \times 0+1$$ donc $$u_{1} =\frac{2}{3} \times 2+\frac{1}{3} \times 0+1$$ ainsi : $$u_{1} \approx 2,33$$
$$u_{2} =\frac{2}{3} u_{1} +\frac{1}{3} \times 1+1$$ ainsi : $$u_{2} \approx 2,89$$
$$u_{3} =\frac{2}{3} u_{2} +\frac{1}{3} \times 2+1$$ ainsi : $$u_{3} \approx 3,59$$
$$u_{4} =\frac{2}{3} u_{3} +\frac{1}{3} \times 3+1$$ ainsi : $$u_{4} \approx 4,40$$

On peut conjecturer que la suite est croissante.

$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{2}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+1-u_{n}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =-\frac{1}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+1$$
$$u_{n+1} -u_{n} =-\frac{1}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+\frac{3}{3}$$ (nous mettons tout au même dénominateur pour factoriser ensuite par $$\frac{1}{3}$$)
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{3} \left(-u_{n} +n+3\right)$$ qui s'écrit également :
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{3} \left(n+3-u_{n} \right)$$

Comme on l'a montré à la question précédente, pour tout $$n$$ naturel, on a un $$u_{n} \le n+3$$ ce qui équivaut à dire que la différence $$n+3-u_{n}$$ est positive, et elle le reste en étant multipliée par $$\frac{1}{3}$$, donc la différence entre deux termes consécutifs étant positive, on confirme bien que notre conjecture était correcte : la suite $$\left(u_{n} \right)_{n \in N}$$ est bien croissante, dès le rang 0.

$$v_{n} =u_{n} -n$$
$$v_{n+1} =u_{n+1} -\left(n+1\right)$$
$$v_{n+1} =u_{n+1} -n-1$$
Or : $$u_{n+1} =\frac{2}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+1$$
$$v_{n+1} =\frac{2}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+1-n-1$$
$$v_{n+1} =\frac{2}{3} u_{n} -\frac{2}{3} n$$
Or : $$v_{n} =u_{n} -n$$
Donc : $$v_{n} +n=u_{n}$$
Il vient alors que :
$$v_{n+1} =\frac{2}{3} \left(v_{n} +n\right)-\frac{2}{3} n$$
$$v_{n+1} =\frac{2}{3} \left(v_{n} +n\right)-\frac{2}{3} n$$
$$v_{n+1} =\frac{2}{3} \times v_{n} +\frac{2}{3} \times n-\frac{2}{3} n$$
$$v_{n+1} =\frac{2}{3} v_{n}$$
Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=\frac{2}{3}$$ et de premier terme $$v_{0} =u_{0} -0$$ donc $$v_{0} =2$$

Tout d'abord, l'expression de $$v_{n}$$ en fonction de $$n$$ est donnée par la formule $$v_{n} =v_{0} \times q^{n}$$
Ainsi : $$v_{n} =2\times \left(\frac{2}{3} \right)^{n}$$
Ensuite, on sait que : $$v_{n} =u_{n} -n$$
Donc : $$u_{n} =v_{n} +n$$
Il vient alors que : $$u_{n} =2\left(\frac{2}{3} \right)^{n} +n$$

• D'une part pour $$\sum _{k=0}^{n}2 \left(\frac{2}{3} \right)^{k} =2+2\left(\frac{2}{3} \right)^{1} +2\left(\frac{2}{3} \right)^{2} +...+2\left(\frac{2}{3} \right)^{n}$$, on reconnait la somme des termes d'une suite géométrique de raison $$q=\frac{2}{3}$$ et de premier terme 2.

On applique la formule :
$$2+2\left(\frac{2}{3} \right)^{1} +2\left(\frac{2}{3} \right)^{2} +...+2\left(\frac{2}{3} \right)^{n} ={1^{\text{er terme}}}\times \frac{\left(1-\left(\text{raison}\right)^\text{nombre de termes} \right)}{1-{\text{raison}}}$$ équivaut successivement à :
$$2+2\left(\frac{2}{3} \right)^{1} +2\left(\frac{2}{3} \right)^{2} +...+2\left(\frac{2}{3} \right)^{n} = 2 \times \frac{\left(1-\left(\frac{2}{3} \right)^{n+1} \right)}{\left(1-\frac{2}{3} \right)}$$
$$2+2\left(\frac{2}{3} \right)^{1} +2\left(\frac{2}{3} \right)^{2} +...+2\left(\frac{2}{3} \right)^{n} = 6 \times \left(1-\left(\frac{2}{3} \right)^{n+1} \right)$$
Ainsi : $$A_{n} ={\text{6}}\times \left({\text{1}}-\left(\frac{2}{3} \right)^{n+1} \right)$$

• D'autre part pour $$\sum _{k=0}^{n}k =0+1+2+3+\ldots +n$$, on reconnait la somme des termes d'une suite arithmétique de raison $$r=1$$ et de premier terme 0.

On applique la formule :
$$0+1+2+3+\ldots +n=\left({\text{nombre de termes}}\right)\times \left(\frac{1^{\text{er terme}}+\text{dernier terme}}2 \right)$$ équivaut successivement à :
$$0+1+2+3+\ldots +n=\left(n+1\right)\times \left(\frac{0+n}{2} \right)$$
$$0+1+2+3+\ldots +n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$$
Ainsi : $$B_{n} =\frac{n\left(n+1\right)}{2}$$

On sait que :
$$S_{n} =\sum _{k=0}^{n}u_{k} =u_{0} +u_{1} +...+u_{n}$$ , on détaille les termes de cette somme:
$$S_{n} =u_{0} +u_{1} +...+u_{n}$$
$$S_{n} =v_{0} +0+v_{1} +1+v_{2} +2+\ldots +v_{n} +n$$, on réorganise la somme :
$$S_{n} =\left(v_{0} +v_{1} +v_{2} +\ldots +v_{n} \right)+\left(0+1+2+3+\ldots +n\right)$$ , on remarque les sommes $$A_{n}$$ et $$B_{n}$$
$$S_{n} =A_{n} +B_{n}$$
$$S_{n} ={\text 6}\times \left({\text 1}-\left(\frac{2}{3} \right)^{n+1} \right)+\frac{n\left(n+1\right)}{2}$$