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Comment montrer que trois nombres sont les termes consécutifs d'une suite géométrique - Exercice 3

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Dans chacun des cas suivants, démontrer si les trois nombres donnés sont les termes consécutifs d'une suite géométrique.
Question 1

u0=15u_{0} =15 ; u1=75u_{1} =75 et u2=300u_{2} =300

Correction
Soient trois nombres réels non nuls notés u0u_{0} ; u1u_{1} et u2u_{2} .
Ces trois nombres sont les termes consécutifs d'une suite géométrique si
u1u0=u2u1\frac{u_1}{u_0}=\frac{u_2}{u_1}
Nous allons donc calculer u1u0\frac{u_1}{u_0} puis u2u1\frac{u_2}{u_1}.
Cela nous donne :
  • u1u0=7515=5\frac{u_1}{u_0}=\frac{75}{15}=5
  • u2u1=30075=4\frac{u_2}{u_1}=\frac{300}{75}=4
  • Il vient alors que :
    u1u0u2u1\frac{u_1}{u_0}\ne\frac{u_2}{u_1}

    Les trois nombres u0=15u_{0} =15 ; u1=75u_{1} =75 et u2=300u_{2} =300 ne sont pas les termes consécutifs d'une suite géométrique.
    Deuxième Méthode :
    Trois nombres réels strictement positifs aa, bb et cc sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si bb est la moyenne géométrique de aa et cc .
    Il faut donc que : a×c=b\sqrt{a\times c}=b
    Dans notre situation, on note : a=15a =15 ; b=75b=75 et c=300c =300
    Or :
    a×c=15×300\sqrt{a\times c}=\sqrt{15\times 300}
    a×c=4500\sqrt{a\times c}=\sqrt{4500}
    a×c75\sqrt{a\times c}\ne 75
    Ainsi :
    a×cb\sqrt{a\times c}\ne b

    Les trois nombres u0=15u_{0} =15 ; u1=75u_{1} =75 et u2=300u_{2} =300 ne sont pas les termes consécutifs d'une suite géométrique.
    Question 2

    u0=5u_{0} =5 ; u1=20u_{1} =20 et u2=110u_{2} =110

    Correction
    Soient trois nombres réels non nuls notés u0u_{0} ; u1u_{1} et u2u_{2} .
    Ces trois nombres sont les termes consécutifs d'une suite géométrique si
    u1u0=u2u1\frac{u_1}{u_0}=\frac{u_2}{u_1}
    Première Méthode :
    Nous allons donc calculer u1u0\frac{u_1}{u_0} puis u2u1\frac{u_2}{u_1}.
    Cela nous donne :
  • u1u0=205=4\frac{u_1}{u_0}=\frac{20}{5}=4
  • u2u1=11020=5,5\frac{u_2}{u_1}=\frac{110}{20}=5,5
  • Il vient alors que :
    u1u0u2u1\frac{u_1}{u_0}\ne\frac{u_2}{u_1}

    Les trois nombres u0=5u_{0} =5 ; u1=20u_{1} =20 et u2=110u_{2} =110 ne sont pas les termes consécutifs d'une suite géométrique.
    Deuxième Méthode :
    Trois nombres réels strictement positifs aa, bb et cc sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si bb est la moyenne géométrique de aa et cc .
    Il faut donc que : a×c=b\sqrt{a\times c}=b
    Dans notre situation, on note : a=5a =5 ; b=20b=20 et c=110c =110
    Or :
    a×c=5×110\sqrt{a\times c}=\sqrt{5\times 110}
    a×c=550\sqrt{a\times c}=\sqrt{550}
    a×c20\sqrt{a\times c}\ne 20
    Ainsi :
    a×cb\sqrt{a\times c} \ne b

    Les trois nombres u0=5u_{0} =5 ; u1=20u_{1} =20 et u2=110u_{2} =110 ne sont pas les termes consécutifs d'une suite géométrique.