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Comment montrer que trois nombres sont les termes consécutifs d'une suite géométrique - Exercice 1

5 min

Dans chacun des cas suivants, démontrer si les trois nombres donnés sont les termes consécutifs d'une suite géométrique.

Question 1

$u_{0} =6$ ; $u_{1} =18$ et $u_{2} =54$

Correction

Soient trois nombres réels non nuls notés

u_{0}

;

u_{1}

u_{2}

.
Ces trois nombres sont les termes consécutifs d'une suite géométrique si

\frac{u_1}{u_0}=\frac{u_2}{u_1}

Première Méthode :
Nous allons donc calculer

\frac{u_1}{u_0}

puis

\frac{u_2}{u_1}

.
Cela nous donne :

\frac{u_1}{u_0}=\frac{18}{6}=3

\frac{u_2}{u_1}=\frac{54}{18}=3

Il vient alors que :

\frac{u_1}{u_0}=\frac{u_2}{u_1}

Les trois nombres

u_{0} =6

;

u_{1} =18

u_{2} =54

sont bien les termes consécutifs d'une suite géométrique.
Deuxième Méthode :

Trois nombres réels strictement positifs

a

b

c

sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si

b

est la moyenne géométrique de

a

c

.
Il faut donc que :

\sqrt{a\times c}=b

Dans notre situation, on note :

a =6

;

b=18

c =54

Or :

\sqrt{a\times c}=\sqrt{6\times 54}

\sqrt{a\times c}=\sqrt{324}

\sqrt{a\times c}=18

Ainsi :

\sqrt{a\times c}=b

Les trois nombres

u_{0} =6

;

u_{1} =18

u_{2} =54

sont bien les termes consécutifs d'une suite géométrique.