Suites

Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique - Exercice 1

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Question 1
Soit une suite arithmétique (un)\left(u_{n} \right) de raison r=2r=2 et de u0=4u_{0} =4.

Donner l'expression de unu_{n} en fonction de nn .

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r .
  • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=4u_{0} =4 et r=2r=2.
    Il en résulte donc que : un=4+n×2u_{n} =4 +n\times 2
    Autrement dit :
    un=4+2nu_{n} =4 +2n
    Question 2

    Calculer u10u_{10} .

    Correction
    D'après la question 11, nous savons que un=4+2nu_{n} =4 +2n .
    Il vient alors que :
    u10=4+2×10u_{10} =4 +2\times 10
    u10=4+20u_{10} =4 +20
    u10=24u_{10} =24
    Question 3

    Calculer : S=u0+u1++u10S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10} . Nous pouvons également écrire S=k=010ukS=\sum _{k=0}^{10}u_{k} .

    Correction
    La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
    u0+u1++un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
    Nous voulons calculer S=u0+u1++u10S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}
    Il y a en tout 11\red{11} termes en partant de u0 u_{0} à u10 u_{10}.
    On applique la formule :
    S=u0+u1++u10=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
    S=11×(u0+u102)S=11\times \left(\frac{u_{0} +u_{10} }{2} \right)
    S=11×(4+242)S=11\times \left(\frac{4+24}{2} \right)
    S=11×(282)S=11\times \left(\frac{28}{2} \right)
    S=11×14S=11\times 14
    Ainsi :
    S=154S=154