Probabilités conditionnelles

Exercices types : 2ème partie - Exercice 1

25 min
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Question 1
Deux ateliers AA et BB fabriquent des stylos pour une entreprise.
L’atelier A fabrique 60%60\% des stylos, et parmi ceux-là, 5%5\% possèdent un défaut de fabrication.
De plus, 1%1\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l’atelier B.B.
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l’entreprise.
On considère les événements suivants :
A  :«A\;:« Le stylo a été fabriqué par l’atelier A  »A\;»
B  :«B\;: « Le stylo a été fabriqué par l’atelier B»B »
D  :«D\;: « Le stylo possède un défaut de fabrication »»

Donner les probabilités P(A)P(A), P(B)P(B), PA(D)P_{A}(D) et P(BD)P(B ∩D).
On pourra s’appuyer sur un arbre de probabilités que l’on complètera au fur et à mesure pour répondre aux questions suivantes.

Correction
Question 2

Calculer la probabilité qu’un stylo provienne de l’atelier AA et possède un défaut de fabrication.

Correction
La probabilité qu’un stylo provienne de l’atelier AA et\color{blue}et possède un défaut de fabrication est notée : P(AD).\color{blue}P(A \cap D).
Or à l'aide de l'arbre pondérée ci-dessus, on a : P(AD)=P(A)×PA(D)P(A \cap D)=P({A})\times{P_{A} \left(D\right)}
P(AD)=0,06×0,05P(A \cap D)=0,06\times0,05
P(AD)=0,03\color{blue}\boxed{P(A \cap D)=0,03}
ON en déduit donc que la probabilité qu’un stylo provienne de l’atelier AA et possède un défaut de fabrication est de 3%\color{blue}3\%
Question 3

En déduire que la probabilité qu’un stylo possède un défaut de fabrication est de 0,04.0,04.

Correction
. La probabilité qu’un stylo possède un défaut de fabrication est P(D). P(D).
Les évènements AA et BB forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
P(D)=P(AD)+P(BD)P\left(D\right)=P\left(A \cap D\right)+P\left(B \cap D\right) équivaut successivement à :
P(D)=P(A)×PA(D)+P(B)×PB(D)P\left(D\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(D\right)+P\left(B\right)\times P_{B} \left(D\right)
P(D)=0,6×0,05+0,4×0,025P\left(D\right)=0,6\times 0,05+0,4\times 0,025
P(D)=0,03+0,01P\left(D\right)=0,03+0,01
Ainsi :
P(D)=0,04\color{blue}P\left(D\right)=0,04

Question 4

On prélève un stylo au hasard dans l’atelier B.B. Quelle est la probabilité qu’il possède un défaut ?

Correction
La probabilité qu’il possède un défaut sachant qu’il provient l’atelier B est notée PB(D).P_{B}(D).
Il s'agit ici d'une forme avec un "sachant" c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
  • PB(A)=P(AB)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
PB(D)=P(DB)P(B)P_{B} \left(D\right)=\frac{P\left(D\cap B\right)}{P\left(B\right)}
PB(D)=0,010,4P_{B} \left(D\right)=\frac{0,01}{0,4}
PB(D)0,025P_{B} \left(D\right)\approx0,025

On peut donner l'arbre de probabilité complet ci-dessous :
Question 5
Dans cette partie, on suppose que 4%4\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
L’entreprise confectionne des paquets contenant chacun 2525 stylos.
Le fait qu’un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
On appelle XX la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de
fabrication.
On admet que la variable aléatoire XX suit une loi binomiale.

Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

Correction
. Les paramètres de cette loi binomiale sont n=25n = 25 et p=0,04.p = 0,04.
Question 6

Le directeur de l’entreprise affirme qu’il y a plus d’une chance sur deux qu’un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?

Correction
La probabilité demandée ici est celle de P(X=0)P\left(X=0\right) :
Avec une calculatrice Texas, pour P(X=0)P\left(X=0\right) on tape :
2nd - DISTR -- puis choisir
BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k) c'est-à-dire ici BinomFdp(2525, 0.040.04 , 00) puis on tape sur enter et on obtient :
P(X=0)0,360P\left(X=0\right)\approx 0,360
arrondi à 10310^{-3} près.
Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp.

Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modèle supérieur, pour P(X=0)P\left(X=0\right) on tape :
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.
On remplit le tableau de la manière qui suit :
D.P. Binomiale
Data Variable
xx : 00 Valeur de k
Numtrial : 2525 Valeur de nn
pp : 0,040,04 Valeur de pp

puis on tape sur EXE et on obtient :
P(X=0)0,360P\left(X=0\right)\approx 0,360
arrondi à 10310^{-3} près.
Cette probabilité est ici inférieur à 0.50.5, on peut donc en déduire que le directeur n’a pas raison.