Probabilités conditionnelles

Exercices types : 1ère partie - Exercice 3

25 min
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Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif. L’enquête révèle que 7070% des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 8080% pratiquent le tri sélectif. Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 1010% qui pratiquent le tri sélectif.
Question 1
On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :
  • SS : L’élève interrogé est sensible au développement durable.
  • TT : L’élève interrogé pratique le tri sélectif.
  • Les résultats seront arrondis à 10210^{-2}

    Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

    Correction
    D'après l'énoncé on obtient l'arbre suivant:
    Question 2

    Calculer la probabilité que l’élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.

    Correction
    L’évènement «l’élève interrogé est sensible au développement durable et{\color{blue}{\text{et}}} pratique le tri sélectif» se traduit par : STS\cap T.
    Il en résulte que :
    P(ST)=P(A)×PS(T)P\left(S\cap T\right)=P\left(A\right)\times P_{S} \left(T\right)
    P(ST)=0,7×0,8P\left(S\cap T\right)=0,7\times 0,8
    P(ST)=0,56P\left(S\cap T\right)=0,56
    Question 3

    Montrer que la probabilité P(T)P\left(T\right) de l’évènement TT est 0,590,59.

    Correction
    Les évènements SS et S\overline{S} forment une partition de l'univers.
    D'après la formule des probabilités totales, on a :
    P(T)=P(ST)+P(ST)P\left(T\right)=P\left(S \cap T\right)+P\left(\overline{S} \cap T\right) équivaut successivement à :
    P(T)=P(S)×PS(T)+P(S)×PS(T)P\left(T\right)=P\left(S\right)\times P_{S} \left(T\right)+P\left(\overline{S}\right)\times P_{\overline{S}} \left(T\right)
    P(T)=0,7×0,8+0,3×0,1P\left(T\right)=0,7\times 0,8 + 0,3\times 0,1
    P(T)=0,59P\left(T\right)=0,59
    Question 4

    On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif. Peut-on affirmer que les chances qu’il se dise sensible au développement durable sont inférieures à 1010%?

    Correction
    Il s'agit ici de déterminer une probabilité conditionnelle. Il nous faut donc calculer PT(S)P_{\overline{T}} \left(S\right).
    PT(S)=P(ST)P(T)P_{\overline{T}} \left(S\right)=\frac{P\left(S\cap \overline{T}\right)}{P\left(\overline{T}\right)}
    PT(S)=P(ST)1P(T)P_{\overline{T}} \left(S\right)=\frac{P\left(S\cap \overline{T}\right)}{1-P\left(T\right)}
    PT(S)=0,7×0,210,59P_{\overline{T}} \left(S\right)=\frac{0,7\times 0,2}{1-0,59}
    PT(S)0,34P_{\overline{T}} \left(S\right)\approx0,34

    Les chances qu’il se dise sensible au développement durable sont de 3434% donc on en pas affirmation est fausse.