Fonctions exponentielles de base $a$

Exercices types : 1ère partie - Exercice 1

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Question 1

Donner l'expression de la fonction f(x)=kaxf\left(x\right)=ka^{x} telle que f(1)=20f\left(-1\right)=20 et f(0)=16f\left(0\right)=16 .

Correction
Dans ce genre de question, il faut utiliser dans un premier temps l'information f(0)=16f\left(0\right)=16 afin de déterminer la valeur de kk .
En effet :
f(0)=16ka0=16k×1=16f\left(0\right)=16\Leftrightarrow ka^{0} =16\Leftrightarrow k\times 1=16\Leftrightarrow
k=16k=16

Il en résulte donc que : f(x)=16axf\left(x\right)=16a^{x}
Grâce à l'information f(1)=20f\left(-1\right)=20, nous allons pouvoir déterminer la valeur de aa .
Soient bb et cc deux reéls non nuls, si a1=bca^{-1} =\frac{{\color{blue}{b}}}{{\color{red}{c}}} alors a=cba=\frac{{\color{red}{c}}}{{\color{blue}{b}}}
f(1)=2016a1=20a1=2016a=1620f\left(-1\right)=20\Leftrightarrow 16a^{-1} =20\Leftrightarrow a^{-1} =\frac{{\color{blue}{20}}}{{\color{red}{16}}} \Leftrightarrow a=\frac{{\color{red}{16}}}{{\color{blue}{20}}} \Leftrightarrow
a=0,8a=0,8

Finalement, l'expression de la fonction f(x)=kaxf\left(x\right)=ka^{x} telle que f(1)=20f\left(-1\right)=20 et f(0)=16f\left(0\right)=16 est alors f(x)=16(0,8)xf\left(x\right)=16\left(0,8\right)^{x}