Primitives

La primitive est donnée... Montrer que c'est la bonne ! - Exercice 9

5 min
10
Question 1
Soit ff la fonction définie pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [2;8]\left[2;8\right] par f(x)=x(6ln(x)+1)f\left(x\right)=x\left(6\ln \left(x\right)+1\right) .

Montrer que la fonction FF définie sur [2;8]\left[2;8\right] par F(x)=3x2ln(x)x2F\left(x\right)=3x^{2} \ln \left(x\right)-x^{2} est une primitive de ff sur [2;8]\left[2;8\right].

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que : F(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Ici on reconnaît la forme : (uv+w)=uv+uv+w\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w' avec u(x)=3x2u\left(x\right)=3x^{2} ; v(x)=ln(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right) et w(x)=x2w\left(x\right)=-x^{2}.
Ainsi : u(x)=6xu'\left(x\right)=6x ; v(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} et w(x)=2xw'\left(x\right)=-2x.
Il vient alors que :
F(x)=6xln(x)+3x2×1x2xF'\left(x\right)=6x\ln \left(x\right)+3x^{2} \times \frac{1}{x} -2x
F(x)=6xln(x)+3x2x2xF'\left(x\right)=6x\ln \left(x\right)+\frac{3x^{2} }{x} -2x
F(x)=6xln(x)+3x2xF'\left(x\right)=6x\ln \left(x\right)+3x-2x
F(x)=6xln(x)+xF'\left(x\right)=6{\color{blue}x}\ln \left(x\right)+{\color{blue}x} . On factorise par x{\color{blue}x} .
F(x)=x(6ln(x)+1)F'\left(x\right)=x\left(6\ln \left(x\right)+1\right)
Ainsi :
F(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)

On a bien montré que FF est une primitive de ff sur [2;8]\left[2;8\right].