Dans le cas où une primitive
F est donnée, il vous suffit de dériver
F et d'obtenir comme résultat
f.
Autrement dit, il faut que
F′(x)=f(x)Soit :
F(x)=(ax+b)ln(x)On reconnaît la forme :
(uv)′=u′v+uv′ avec
u(x)=ax+b et
v(x)=ln(x).
Ainsi :
u′(x)=a et
v′(x)=x1.
Il vient alors que :
F′(x)=a×ln(x)+(ax+b)×x1F′(x)=a×ln(x)+ax×x1+b×x1 F′(x)=aln(x)+a+xbOr, il nous faut que
F′(x)=f(x), ce qui nous donne ici :
aln(x)+a+xb=3ln(x)+x1+3 Par identification, on obtient :
a=3 et
b=1.
Finalement :
F(x)=(3x+1)ln(x) est alors une primitive de
f.