La primitive est donnée... Montrer que c'est la bonne ! - Exercice 6

Soit : $$F\left(x\right)=\left(ax^{2} +bx+c\right)e^{-x}$$
On reconnaît la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=ax^{2} +bx+c$$ et $$v\left(x\right)=e^{-x}$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2ax+b$$ et $$v'\left(x\right)=-e^{-x}$$.
Il vient alors que :
$$F'\left(x\right)=\left(2ax+b\right)e^{-x} +\left(ax^{2} +bx+c\right)\times \left(-e^{-x} \right)$$
$$F'\left(x\right)=2axe^{-x} +be^{-x} -ax^{2} e^{-x} -bxe^{-x} -ce^{-x}$$
$$F'\left(x\right)=\left(2ax+b-ax^{2} -bx-c\right)e^{-x}$$
$$F'\left(x\right)=\left(-ax^{2} +\left(2a-b\right)x+b-c\right)e^{-x}$$
Or, il nous faut que $$F'\left(x\right)=f\left(x\right)$$, ce qui nous donne ici :

Par identification, on obtient :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {-a} & {=} & {1} \\ {2a-b} & {=} & {0} \\ {b-c} & {=} & {-6} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-1} \\ {2\times\left(-1\right)-b} & {=} & {0} \\ {b-c} & {=} & {-6} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-1} \\ {-2-b} & {=} & {0} \\ {b-c} & {=} & {-6} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-1} \\ {-b} & {=} & {2} \\ {b-c} & {=} & {-6} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-1} \\ {b} & {=} & {-2} \\ {-2-c} & {=} & {-6} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-1} \\ {b} & {=} & {-2} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
Finalement : $$F\left(x\right)=\left(-x^{2} -2x+4\right)e^{-x}$$ est alors une primitive de $$f$$.