Primitives

La primitive est donnée... Montrer que c'est la bonne ! - Exercice 5

5 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [1;3]\left[1;3\right] par f(x)=4x(2ln⁡(x)+1)f\left(x\right)=4x\left(2\ln \left(x\right)+1\right)

Montrer que la fonction FF définie sur [1;3]\left[1;3\right] par F(x)=4x2ln⁡(x)F\left(x\right)=4x^{2} \ln \left(x\right) est une primitive de ff sur [1;3]\left[1;3\right]

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Soit : F(x)=4x2ln⁡(x)F\left(x\right)=4x^{2} \ln \left(x\right)
On reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=4x2u\left(x\right)=4x^{2} et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
Ainsi : u′(x)=8xu'\left(x\right)=8x et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
F′(x)=8x×ln⁡(x)+4x2×1xF'\left(x\right)=8x\times \ln \left(x\right)+4x^{2} \times \frac{1}{x}
F′(x)=8x×ln⁡(x)+4xF'\left(x\right)=8x\times \ln \left(x\right)+4x .
On factorise par 4x4x.
F′(x)=4x(2ln⁡(x)+1)F'\left(x\right)=4x\left(2\ln \left(x\right)+1\right)
Ainsi :
F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)

On a bien montré que FF est une primitive de ff sur [1;3]\left[1;3\right].