La primitive est donnée... Montrer que c'est la bonne ! - Exercice 4

5 min

Question 1

Soit

f

la fonction définie pour tout réel

x

appartenant à l'intervalle

\left[0;5\right]

par

f\left(x\right)=\left(1+x\right)e^{x}

Montrer que la fonction $F$ définie sur $\left[0;5\right]$ par $F\left(x\right)=xe^{x}$ est une primitive de $f$ sur $\left[0;5\right]$

Correction

Dans le cas où une primitive

F

est donnée, il vous suffit de dériver

F

et d'obtenir comme résultat

f

.
Autrement dit, il faut que :

F'\left(x\right)=f\left(x\right)

Soit :

F\left(x\right)=xe^{x}

On reconnait la forme :

\left(uv\right)'=u'v+uv'

avec

u\left(x\right)=x

v\left(x\right)=e^{x}

.
Ainsi :

u'\left(x\right)=1

v'\left(x\right)=e^{x}

.
Il vient alors que :

F'\left(x\right)=e^{x} +xe^{x}

On factorise par

e^{x}

F'\left(x\right)=\left(1+x\right)e^{x}

Ainsi :

F'\left(x\right)=f\left(x\right)

On a bien montré que

F

est une primitive de

f

sur

\left[0;5\right]