La primitive est donnée... Montrer que c'est la bonne ! - Exercice 4

5 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [0;5]\left[0;5\right] par f(x)=(1+x)exf\left(x\right)=\left(1+x\right)e^{x}

Montrer que la fonction FF définie sur [0;5]\left[0;5\right] par F(x)=xexF\left(x\right)=xe^{x} est une primitive de ff sur [0;5]\left[0;5\right]

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que : F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Soit : F(x)=xexF\left(x\right)=xe^{x}
On reconnait la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
Ainsi : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
Il vient alors que :
F′(x)=ex+xexF'\left(x\right)=e^{x} +xe^{x}
On factorise par exe^{x} .
F′(x)=(1+x)exF'\left(x\right)=\left(1+x\right)e^{x}
Ainsi :
F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)

On a bien montré que FF est une primitive de ff sur [0;5]\left[0;5\right].

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