La primitive est donnée... Montrer que c'est la bonne ! - Exercice 3

5 min

Question 1

Soit

f

la fonction définie pour tout réel

x

appartenant à l'intervalle

\left[1;7\right]

par

f\left(x\right)=\left(-6x+14\right)e^{-3x+1}

Montrer que la fonction $F$ définie sur $\left[1;7\right]$ par $F\left(x\right)=\left(2x-4\right)e^{-3x+1}$ est une primitive de $f$ sur $\left[1;7\right]$

Correction

Dans le cas où une primitive

F

est donnée, il vous suffit de dériver

F

et d'obtenir comme résultat

f

.
Autrement dit, il faut que

F'\left(x\right)=f\left(x\right)

Soit :

F\left(x\right)=\left(2x-4\right)e^{-3x+1}

On reconnaît la forme :

\left(uv\right)'=u'v+uv'

avec

u\left(x\right)=2x-4

v\left(x\right)=e^{-3x+1}

.
Ainsi :

u'\left(x\right)=2

v'\left(x\right)=-3e^{-3x+1}

.
Il vient alors que :

F'\left(x\right)=2e^{-3x+1} +\left(2x-4\right)\times \left(-3e^{-3x+1} \right)

F'\left(x\right)=2e^{-3x+1} -6xe^{-3x+1} +12e^{-3x+1}

F'\left(x\right)=14e^{-3x+1} -6xe^{-3x+1}

. On factorise par

e^{-3x+1}

F'\left(x\right)=\left(-6x+14\right)e^{-3x+1}

Ainsi :

F'\left(x\right)=f\left(x\right)

On a bien montré que

F

est une primitive de

f

sur

\left[1;7\right]