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La primitive est donnée... Montrer que c'est la bonne ! - Exercice 3

5 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [1;7]\left[1;7\right] par f(x)=(−6x+14)e−3x+1f\left(x\right)=\left(-6x+14\right)e^{-3x+1}

Montrer que la fonction FF définie sur [1;7]\left[1;7\right] par F(x)=(2x−4)e−3x+1F\left(x\right)=\left(2x-4\right)e^{-3x+1} est une primitive de ff sur [1;7]\left[1;7\right]

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Soit : F(x)=(2x−4)e−3x+1F\left(x\right)=\left(2x-4\right)e^{-3x+1}
On reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=2x−4u\left(x\right)=2x-4 et v(x)=e−3x+1v\left(x\right)=e^{-3x+1} .
Ainsi : u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=−3e−3x+1v'\left(x\right)=-3e^{-3x+1} .
Il vient alors que :
F′(x)=2e−3x+1+(2x−4)×(−3e−3x+1)F'\left(x\right)=2e^{-3x+1} +\left(2x-4\right)\times \left(-3e^{-3x+1} \right)
F′(x)=2e−3x+1−6xe−3x+1+12e−3x+1F'\left(x\right)=2e^{-3x+1} -6xe^{-3x+1} +12e^{-3x+1}
F′(x)=14e−3x+1−6xe−3x+1F'\left(x\right)=14e^{-3x+1} -6xe^{-3x+1} . On factorise par e−3x+1e^{-3x+1}
F′(x)=(−6x+14)e−3x+1F'\left(x\right)=\left(-6x+14\right)e^{-3x+1}
Ainsi :
F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)

On a bien montré que FF est une primitive de ff sur [1;7]\left[1;7\right].

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