Primitives

La primitive est donnée... Montrer que c'est la bonne ! - Exercice 1

5 min
10
Question 1
Soit ff la fonction définie pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [2;6]\left[2;6\right] par f(x)=−4(x−1)2f\left(x\right)=\frac{-4}{\left(x-1\right)^{2} }

Montrer que la fonction FF définie sur [2;6]\left[2;6\right] par F(x)=x+3x−1F\left(x\right)=\frac{x+3}{x-1} est une primitive de ff sur [2;6]\left[2;6\right]

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que : F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
On a : F(x)=x+3x−1F\left(x\right)=\frac{x+3}{x-1}
On reconnaît la forme : (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=x+3u\left(x\right)=x+3 et v(x)=x−1v\left(x\right)=x-1.
Ainsi : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=1v'\left(x\right)=1.
Il vient alors que :
F′(x)=1×(x−1)−1×(x+3)(x−1)2F'\left(x\right)=\frac{1\times \left(x-1\right)-1\times \left(x+3\right)}{\left(x-1\right)^{2} }
F′(x)=x−1−(x+3)(x−1)2F'\left(x\right)=\frac{x-1-\left(x+3\right)}{\left(x-1\right)^{2} }
F′(x)=x−1−x−3(x−1)2F'\left(x\right)=\frac{x-1-x-3}{\left(x-1\right)^{2} }
F′(x)=−4(x−1)2F'\left(x\right)=\frac{-4}{\left(x-1\right)^{2} }
Ainsi :
F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)

On a bien montré que FF est une primitive de ff sur [2;6]\left[2;6\right].