Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : $$\red{x\mapsto u'\left(x\right)u^{n} \left(x\right)}$$ - Exercice 2

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=-2x+1}}$$ et $${\color{brown}{n=3}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=-2}}$$ .
$$f\left(x\right)=-2\left(-2x+1\right)^{3}$$ s'écrit alors :
$$f\left(x\right)={\color{blue}{-2}}\left({\color{red}{-2x+1}}\right)^{\color{brown}{3}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ est de la forme $$\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$$
D'où :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{3}}+1} \left({\color{red}{-2x+1}}\right)^{{\color{brown}{3}}+1}$$
Ainsi : que l'on peut également écrire $$F\left(x\right)=\frac{\left(-2x+1\right)^{4} }{4}$$

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=5x+4}}$$ et $${\color{brown}{n=9}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=5}}$$ .
$$f\left(x\right)=5\left(5x+4\right)^{9}$$ s'écrit alors :
$$f\left(x\right)={\color{blue}{5}}\left({\color{red}{5x+4}}\right)^{\color{brown}{9}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ est de la forme $$\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$$
D'où :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{9}}+1} \left({\color{red}{5x+4}}\right)^{{\color{brown}{9}}+1}$$
Ainsi : que l'on peut également écrire $$F\left(x\right)=\frac{\left(5x+4\right)^{10} }{10}$$

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=2x+3}}$$ et $${\color{brown}{n=7}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=2}}$$ .
$$f\left(x\right)=18\left(2x+3\right)^{7}$$ s'écrit alors :
$$f\left(x\right)=\color{purple}{9}\times{\color{blue}{2}}\left({\color{red}{2x+3}}\right)^{\color{brown}{7}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ avec $${\color{purple}{k=9}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ est de la forme $$\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$$
D'où :
$$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{9}}}{{\color{brown}{7}}+1} \left({\color{red}{2x+3}}\right)^{{\color{brown}{7}}+1}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=x^{2}+x}}$$ et $${\color{brown}{n=5}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=2x+1}}$$ .
$$f\left(x\right)=\left(2x+1\right)\left(x^{2}+x\right)^{5}$$ s'écrit alors :
$$f\left(x\right)=\left({\color{blue}{2x+1}}\right)\left({\color{red}{x^{2}+x}}\right)^{\color{brown}{5}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ est de la forme $$\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$$
D'où :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{5}}+1} \left({\color{red}{x^{2}+x}}\right)^{{\color{brown}{5}}+1}$$
Ainsi : que l'on peut également écrire $$F\left(x\right)=\frac{\left(x^{2}+x\right)^{6} }{6}$$