Primitives

Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦u′(x)un(x)\red{x\mapsto u'\left(x\right)u^{n} \left(x\right)} - Exercice 1

12 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=3(3x+7)4f\left(x\right)=3\left(3x+7\right)^{4}

Correction
Soit n\color{brown}{n} un entier non nul
  • Une primitive de primitive de u′un{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} est de la forme 1n+1un+1\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′un{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} avec u(x)=3x+7{\color{red}{u\left(x\right)=3x+7}} et n=4{\color{brown}{n=4}}.
    De plus, u′(x)=3{\color{blue}{u'\left(x\right)=3}} .
    f(x)=3(3x+7)4f\left(x\right)=3\left(3x+7\right)^{4} s'écrit alors :
    f(x)=3(3x+7)4f\left(x\right)={\color{blue}{3}}\left({\color{red}{3x+7}}\right)^{\color{brown}{4}} c'est à dire f(x)=u′unf\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}
    Or une primitive de u′un{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} est de la forme 1n+1un+1\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=1n+1(u(x))n+1F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}
    D'où :
    F(x)=14+1(3x+7)4+1F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{4}}+1} \left({\color{red}{3x+7}}\right)^{{\color{brown}{4}}+1}
    Ainsi :
    F(x)=15(3x+7)5F\left(x\right)=\frac{1}{5} \left(3x+7\right)^{5}
    que l'on peut également écrire F(x)=(3x+7)55F\left(x\right)=\frac{\left(3x+7\right)^{5} }{5}
    Question 2

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=4x(2x2−6)8f\left(x\right)=4x\left(2x^{2}-6\right)^{8}

    Correction
    Soit n\color{brown}{n} un entier non nul
  • Une primitive de primitive de u′un{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} est de la forme 1n+1un+1\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′un{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} avec u(x)=2x2−6{\color{red}{u\left(x\right)=2x^{2}-6}} et n=8{\color{brown}{n=8}}.
    De plus, u′(x)=4x{\color{blue}{u'\left(x\right)=4x}} .
    f(x)=4x(2x2−6)8f\left(x\right)=4x\left(2x^{2}-6\right)^{8} s'écrit alors :
    f(x)=4x(2x2−6)8f\left(x\right)={\color{blue}{4x}}\left({\color{red}{2x^{2}-6}}\right)^{\color{brown}{8}} c'est à dire f(x)=u′unf\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}
    Or une primitive de u′un{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} est de la forme 1n+1un+1\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=1n+1(u(x))n+1F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}
    D'où :
    F(x)=18+1(2x2−6)8+1F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{8}}+1} \left({\color{red}{2x^{2}-6}}\right)^{{\color{brown}{8}}+1}
    Ainsi :
    F(x)=19(2x2−6)9F\left(x\right)=\frac{1}{9} \left(2x^{2}-6\right)^{9}
    que l'on peut également écrire F(x)=(2x2−6)99F\left(x\right)=\frac{\left(2x^{2}-6\right)^{9} }{9}
    Question 3

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=28(7x+2)3f\left(x\right)=28\left(7x+2\right)^{3}

    Correction
    Soient n\color{brown}{n} un entier non nul et k\color{purple}{k} un reél non nul
  • Une primitive de primitive de k×u′un{\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} est de la forme kn+1un+1\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′un{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} avec u(x)=7x+2{\color{red}{u\left(x\right)=7x+2}} et n=3{\color{brown}{n=3}}.
    De plus, u′(x)=7{\color{blue}{u'\left(x\right)=7}} .
    f(x)=28(7x+2)3f\left(x\right)=28\left(7x+2\right)^{3} s'écrit alors :
    f(x)=4×7(7x+2)3f\left(x\right)=\color{purple}{4}\times{\color{blue}{7}}\left({\color{red}{7x+2}}\right)^{\color{brown}{3}} c'est à dire f(x)=k×u′unf\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} avec k=4{\color{purple}{k=4}}
    Or une primitive de k×u′un{\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} est de la forme kn+1un+1\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=kn+1(u(x))n+1F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}
    D'où :
    F(x)=43+1(7x+2)3+1F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{4}}}{{\color{brown}{3}}+1} \left({\color{red}{7x+2}}\right)^{{\color{brown}{3}}+1}
    F(x)=44(7x+2)4F\left(x\right)=\frac{4}{4} \left(7x+2\right)^{4}
    Ainsi :
    F(x)=(7x+2)4F\left(x\right)= \left(7x+2\right)^{4}
    Question 4

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=x(x2+6)2f\left(x\right)=x\left(x^{2}+6\right)^{2}

    Correction
    Soient n\color{brown}{n} un entier non nul et k\color{purple}{k} un reél non nul
  • Une primitive de primitive de k×u′un{\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} est de la forme kn+1un+1\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′un{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} avec u(x)=x2+6{\color{red}{u\left(x\right)=x^{2}+6}} et n=2{\color{brown}{n=2}}.
    De plus, u′(x)=2x{\color{blue}{u'\left(x\right)=2x}} .
    f(x)=x(x2+6)2f\left(x\right)=x\left(x^{2}+6\right)^{2} s'écrit alors :
    f(x)=12×2x(x2+6)2f\left(x\right)=\color{purple}{\frac{1}{2}}\times{\color{blue}{2x}}\left({\color{red}{x^{2}+6}}\right)^{\color{brown}{2}} c'est à dire f(x)=k×u′unf\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} avec k=12{\color{purple}{k=\frac{1}{2}}}
    Or une primitive de k×u′un{\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} est de la forme kn+1un+1\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=kn+1(u(x))n+1F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}
    D'où :
    F(x)=122+1(x2+6)2+1F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{\frac{1}{2}}}}{{\color{brown}{2}}+1} \left({\color{red}{x^{2}+6}}\right)^{{\color{brown}{2}}+1}
    F(x)=123(x2+6)3F\left(x\right)=\frac{\frac{1}{2}}{3} \left(x^{2}+6\right)^{3}
    Ainsi :
    F(x)=16(x2+6)3F\left(x\right)=\frac{1}{6} \left(x^{2}+6\right)^{3}
    Question 5

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=(10x−3)(5x2−3x)2f\left(x\right)=\left(10x-3\right)\left(5x^{2}-3x\right)^{2}

    Correction
    Soit n\color{brown}{n} un entier non nul
  • Une primitive de primitive de u′un{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} est de la forme 1n+1un+1\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′un{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} avec u(x)=5x2−3x{\color{red}{u\left(x\right)=5x^{2}-3x}} et n=2{\color{brown}{n=2}}.
    De plus, u′(x)=10x−3{\color{blue}{u'\left(x\right)=10x-3}} .
    f(x)=(10x−3)(5x2−3x)2f\left(x\right)=\left(10x-3\right)\left(5x^{2}-3x\right)^{2} s'écrit alors :
    f(x)=(10x−3)(5x2−3x)2f\left(x\right)=\left({\color{blue}{10x-3}}\right)\left({\color{red}{5x^{2}-3x}}\right)^{\color{brown}{2}} c'est à dire f(x)=u′unf\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}
    Or une primitive de u′un{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} est de la forme 1n+1un+1\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=1n+1(u(x))n+1F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}
    D'où :
    F(x)=12+1(5x2−3x)2+1F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{2}}+1} \left({\color{red}{5x^{2}-3x}}\right)^{{\color{brown}{2}}+1}
    Ainsi :
    F(x)=13(5x2−3x)3F\left(x\right)=\frac{1}{3} \left(5x^{2}-3x\right)^{3}
    que l'on peut également écrire F(x)=(5x2−3x)33F\left(x\right)=\frac{\left(5x^{2}-3x\right)^{3} }{3}