Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : $$\red{x\mapsto u'\left(x\right)e^{u\left(x\right)} }$$ - Exercice 2

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=x^{3} +7}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=3x^{2}}}$$ .
$$f\left(x\right)={\color{blue}{3x^{2}}}e^{{\color{red}{x^{3} +7}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$e^{{\color{red}{u}}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=6x^{2} +9}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=12x}}$$ .
$$f\left(x\right)={\color{blue}{12x}}e^{{\color{red}{6x^{2}+9}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$e^{{\color{red}{u}}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=4x^{2} -3x}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=8x-3}}$$ .
$$f\left(x\right)=\left({\color{blue}{8x-3}}\right)e^{{\color{red}{4x^{2} -3x}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$e^{{\color{red}{u}}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}$$
Ainsi :