Primitives

Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦u′(x)eu(x)\red{x\mapsto u'\left(x\right)e^{u\left(x\right)} } - Exercice 1

12 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=6xe3x2+1f\left(x\right)=6xe^{3x^{2} +1}

Correction
  • Une primitive de u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme eue^{{\color{red}{u}}}
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} avec u(x)=3x2+1{\color{red}{u\left(x\right)=3x^{2} +1}}.
    De plus, u′(x)=6x{\color{blue}{u'\left(x\right)=6x}} .
    f(x)=6xe3x2+1f\left(x\right)={\color{blue}{6x}}e^{{\color{red}{3x^{2}+1}}} s'écrit alors
    f(x)=u′euf\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}
    Or une primitive de u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme eue^{{\color{red}{u}}}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=euF\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}
    Ainsi :
    F(x)=e3x2+1F\left(x\right)=e^{{\color{red}{3x^{2} +1}}}

    Question 2

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=10xe5x2+6f\left(x\right)=10xe^{5x^{2} +6}

    Correction
  • Une primitive de u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme eue^{{\color{red}{u}}}
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} avec u(x)=5x2+6{\color{red}{u\left(x\right)=5x^{2} +6}}.
    De plus, u′(x)=10x{\color{blue}{u'\left(x\right)=10x}} .
    f(x)=10xe5x2+6f\left(x\right)={\color{blue}{10x}}e^{{\color{red}{5x^{2}+6}}} s'écrit alors
    f(x)=u′euf\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}
    Or une primitive de u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme eue^{{\color{red}{u}}}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=euF\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}
    Ainsi :
    F(x)=e5x2+6F\left(x\right)=e^{{\color{red}{5x^{2} +6}}}

    Question 3

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=(2x+5)ex2+5xf\left(x\right)=\left(2x+5\right)e^{x^{2} +5x}

    Correction
  • Une primitive de u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme eue^{{\color{red}{u}}}
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} avec u(x)=x2+5x{\color{red}{u\left(x\right)=x^{2} +5x}}.
    De plus, u′(x)=2x+5{\color{blue}{u'\left(x\right)=2x+5}} .
    f(x)=(2x+5)ex2+5xf\left(x\right)=\left({\color{blue}{2x+5}}\right)e^{{\color{red}{x^{2} +5x}}} s'écrit alors
    f(x)=u′euf\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}
    Or une primitive de u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme eue^{{\color{red}{u}}}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=euF\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}
    Ainsi :
    F(x)=ex2+5xF\left(x\right)=e^{{\color{red}{x^{2} +5x}}}
    Question 4

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=(9x2+18x)e3x3+9x2−1f\left(x\right)=\left(9x^{2}+18x\right)e^{3x^{3} +9x^{2}-1}

    Correction
  • Une primitive de u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme eue^{{\color{red}{u}}}
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} avec u(x)=3x3+9x2−1{\color{red}{u\left(x\right)=3x^{3} +9x^{2}-1}}.
    De plus, u′(x)=9x2+18x{\color{blue}{u'\left(x\right)=9x^{2}+18x}} .
    f(x)=(9x2+18x)e3x3+9x2−1f\left(x\right)=\left({\color{blue}{9x^{2}+18x}}\right)e^{{\color{red}{3x^{3} +9x^{2}-1}}} s'écrit alors
    f(x)=u′euf\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}
    Or une primitive de u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme eue^{{\color{red}{u}}}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=euF\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}
    Ainsi :
    F(x)=e3x3+9x2−1F\left(x\right)=e^{{\color{red}{3x^{3} +9x^{2}-1}}}
    Question 5

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=8xe2x2f\left(x\right)=8xe^{2x^{2} }

    Correction
    Soit k{\color{purple}{k}} un réel non nul .
  • Une primitive de k×u′eu{\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme k×eu{\color{purple}{k}} \times e^{{\color{red}{u}}}
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme k×u′eu{\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} avec u(x)=2x2{\color{red}{u\left(x\right)=2x^{2}}}.
    De plus, u′(x)=4x{\color{blue}{u'\left(x\right)=4x}} .
    f(x)=8xe2x2f\left(x\right)=8xe^{2x^{2} } s'écrit alors
    f(x)=2×4xe2x2f\left(x\right)={\color{purple}{2}}\times{\color{blue}{4x}}e^{{\color{red}{2x^{2}}}}
    f(x)=k×u′euf\left(x\right)={\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} . La valeur de k{\color{purple}{k}} ici est 2{\color{purple}{2}}
    Or une primitive de k×u′eu{\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme k×eu{\color{purple}{k}} \times e^{{\color{red}{u}}}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=k×euF\left(x\right)={\color{purple}{k}} \times e^{{\color{red}{u}}}
    Ainsi :
    F(x)=2e2x2F\left(x\right)={\color{purple}{2}}e^{{\color{red}{2x^{2}}}}