Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : $$\red{x\mapsto u'\left(x\right)\cos \left(u\left(x\right)\right)}$$ - Exercice 2

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right)$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=2x^{2}+5 }}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=4x}}$$ .
$$f\left(x\right)={\color{blue}{4x}}\cos \left({\color{red}{2x^{2}+5}}\right)$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right)$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right)$$ est de la forme $$\sin \left({\color{red}{u}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{u}}\right)$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right)$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=x^{3}+x+2 }}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=3x^{2}+1}}$$ .
$$f\left(x\right)=\left({\color{blue}{3x^{2}+1}}\right)\cos \left({\color{red}{x^{3}+x+2 }}\right)$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right)$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right)$$ est de la forme $$\sin \left({\color{red}{u}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{u}}\right)$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right)$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=3x^{2}+5x-9}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=6x+5}}$$ .
$$f\left(x\right)=\left({\color{blue}{6x+5}}\right)\cos \left({\color{red}{3x^{2}+5x-9 }}\right)$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right)$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right)$$ est de la forme $$\sin \left({\color{red}{u}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{u}}\right)$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right)$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=2x^{3}-7 }}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=6x^{2}}}$$ .
$$f\left(x\right)={\color{blue}{6x^{2}}}\cos \left({\color{red}{2x^{3}-7}}\right)$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right)$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right)$$ est de la forme $$\sin \left({\color{red}{u}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{u}}\right)$$
Ainsi :