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Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦u′(x)u(x)\red{x\mapsto \frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}} - Exercice 1

12 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur ]−34;+∞[\left]-\frac{3}{4};+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]−34;+∞[\left]-\frac{3}{4};+\infty \right[ et définie par f(x)=44x+3f\left(x\right)=\frac{4}{4x+3}

Correction
  • Une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(u)\ln\left({\color{red}{u}}\right)
    • Soit x∈]−34;+∞[x\in \left]-\frac{3}{4};+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} avec u(x)=4x+3{\color{red}{u\left(x\right)=4x+3}}.
    De plus, u′(x)=4{\color{blue}{u'\left(x\right)=4}} .
    f(x)=44x+3f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{4}}}{{\color{red}{4x+3}}} s'écrit alors
    f(x)=u′(x)u(x)f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}
    Or une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(u)\ln\left({\color{red}{u}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]−34;+∞[\left]-\frac{3}{4};+\infty \right[ est :
    F(x)=ln⁡(u(x))F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=ln⁡(4x+3)F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{4x+3}}\right)

    Question 2

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=2xx2+6f\left(x\right)=\frac{2x}{x^{2}+6}

    Correction
  • Une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(u)\ln\left({\color{red}{u}}\right)
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} avec u(x)=x2+6{\color{red}{u\left(x\right)=x^{2}+6}}.
    De plus, u′(x)=2x{\color{blue}{u'\left(x\right)=2x}} .
    f(x)=2xx2+6f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{2x}}}{{\color{red}{x^{2}+6}}} s'écrit alors
    f(x)=u′(x)u(x)f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}
    Or une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(u)\ln\left({\color{red}{u}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=ln⁡(u(x))F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=ln⁡(x2+6)F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{x^{2}+6}}\right)
    Question 3

    Déterminer une primitive sur ]5;+∞[\left]5;+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]5;+∞[\left]5;+\infty \right[ et définie par f(x)=62x−10f\left(x\right)=\frac{6}{2x-10}

    Correction
    Soit k{\color{purple}{k}} un réel non nul.
  • Une primitive de k×u′u{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme k×ln⁡(u){\color{purple}{k}}\times\ln\left({\color{red}{u}}\right)
    • Soit x∈]5;+∞[x\in \left]5;+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme k×u′u{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} avec u(x)=2x−10{\color{red}{u\left(x\right)=2x-10}}.
    De plus, u′(x)=2{\color{blue}{u'\left(x\right)=2}} .
    f(x)=62x−10f\left(x\right)=\frac{6}{2x-10} s'écrit alors
    f(x)=3×22x−10f\left(x\right)={\color{purple}{3}}\times\frac{{\color{blue}{2}}}{{\color{red}{2x-10}}}
    f(x)=k×u′uf\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} . La valeur de k{\color{purple}{k}} ici est 3{\color{purple}{3}}
    Or une primitive de k×u′u{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme k×ln⁡(u){\color{purple}{k}}\times\ln\left({\color{red}{u}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]5;+∞[\left]5;+\infty \right[ est :
    F(x)=k×ln⁡(u(x))F\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\ln \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=3ln⁡(2x−10)F\left(x\right)={\color{purple}{3}}\ln \left({\color{red}{2x-10}}\right)
    Question 4

    Déterminer une primitive sur ]−∞;2[\left]-\infty;2 \right[ de la fonction ff continue sur ]−∞;2[\left]-\infty;2 \right[ et définie par f(x)=−612−6xf\left(x\right)=\frac{-6}{12-6x}

    Correction
  • Une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(u)\ln\left({\color{red}{u}}\right)
    • Soit x∈]−∞;2[x\in \left]-\infty;2 \right[
    La fonction ff est de la forme u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} avec u(x)=12−6x{\color{red}{u\left(x\right)=12-6x}}.
    De plus, u′(x)=−6{\color{blue}{u'\left(x\right)=-6}} .
    f(x)=−612−6xf\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{-6}}}{{\color{red}{12-6x}}} s'écrit alors
    f(x)=u′(x)u(x)f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}
    Or une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(u)\ln\left({\color{red}{u}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]−∞;2[\left]-\infty;2 \right[ est :
    F(x)=ln⁡(u(x))F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=ln⁡(12−6x)F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{12-6x}}\right)
    Question 5

    Déterminer une primitive sur ]53;+∞[\left]\frac{5}{3};+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]53;+∞[\left]\frac{5}{3};+\infty \right[ et définie par f(x)=123x−5f\left(x\right)=\frac{12}{3x-5}

    Correction
    Soit k{\color{purple}{k}} un réel non nul.
  • Une primitive de k×u′u{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme k×ln⁡(u){\color{purple}{k}}\times\ln\left({\color{red}{u}}\right)
    • Soit x∈]53;+∞[x\in \left]\frac{5}{3};+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme k×u′u{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} avec u(x)=3x−5{\color{red}{u\left(x\right)=3x-5}}.
    De plus, u′(x)=3{\color{blue}{u'\left(x\right)=3}} .
    f(x)=123x−5f\left(x\right)=\frac{12}{3x-5} s'écrit alors
    f(x)=4×33x−5f\left(x\right)={\color{purple}{4}}\times\frac{{\color{blue}{3}}}{{\color{red}{3x-5}}}
    f(x)=k×u′uf\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} . La valeur de k{\color{purple}{k}} ici est 4{\color{purple}{4}}
    Or une primitive de k×u′u{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme k×ln⁡(u){\color{purple}{k}}\times\ln\left({\color{red}{u}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]53;+∞[\left]\frac{5}{3};+\infty \right[ est :
    F(x)=k×ln⁡(u(x))F\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\ln \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=4ln⁡(3x−5)F\left(x\right)={\color{purple}{4}}\ln \left({\color{red}{3x-5}}\right)

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